Sequências e Limites
Suponha que você acabou de ganhar um jet ski no valor de $ 10.000 em um game show. Parabéns! Após o show, você vai para casa e procura a marca e o modelo de seu novo jet ski online para aprender tudo sobre ele. Você encontra um gráfico que dá o valor previsto, devido à depreciação, do jet ski no início de cada ano que passa.
| Ano | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| Valor | $ 10000 | $ 5000 | $ 3333,33 | $ 2500 | $ 2.000 | . . . |
Considere apenas a lista dos valores:
- 10000, 5000, 3333,33, 2500, 2000,. . .
Este é um exemplo de sequência em matemática. Uma sequência é uma lista de números em uma ordem específica e assume a seguinte forma:
- a 1 , a 2 , a 3 ,. . .
Quando um n é o n ésimo termo da sequência. Por exemplo, em nossa sequência de valores, 2500 é o valor do jet ski no início do quarto ano após a vitória no jet ski. Matematicamente falando, 2500 é o quarto termo na sequência, então temos o seguinte:
- a 4 = 2500
Observe que os valores na sequência ficam cada vez mais baixos a cada ano devido à depreciação. Se continuássemos a sequência, descobriríamos que esse padrão continua. Em outras palavras, a n se aproxima de zero conforme n se aproxima do infinito (fica cada vez maior).
Este fenômeno também tem significado matemático. Ao lidar com sequências, chamamos um número que os termos da sequência se aproximam do limite da sequência e usamos esta notação:
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Esses limites são um assunto amplo que exigiria várias lições para ser abordado. Eles desempenham um papel importante na identificação das características de uma sequência, portanto, para explorar adequadamente essas características, quaisquer limites necessários nesta lição serão dados.
Sequências e fórmulas convergentes
Quando uma sequência tem um limite que existe, dizemos que a sequência é convergente . Nem todas as sequências têm um limite existente. Por exemplo, considere a sequência de amostra dos números de contagem:
- 1, 2, 3, 4,. . .
Se continuarmos esta sequência, os termos ficarão cada vez maiores, então a n se aproxima do infinito enquanto n se aproxima do infinito. Portanto, os termos não se aproximam de um número, porque infinito não é um número. Assim, a sequência não tem limite e não é convergente.
Ok, então algumas sequências são convergentes e outras não, mas como podemos determinar qual é o caso para uma determinada sequência? Tudo se resume a duas etapas:
- Encontre uma fórmula para o n- ésimo termo, ou um n , da sequência.
- Encontre o limite dessa fórmula conforme n se aproxima do infinito. Se o limite existe, a sequência é convergente. Caso contrário, a sequência não é convergente.
A parte complicada é o primeiro passo. Algumas fórmulas para sequências são óbvias, mas outras não. Considere nossa sequência de valores novamente. À primeira vista, você pode não ser capaz de reconhecer uma fórmula, mas observe cada termo escrito de maneira um pouco diferente:
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Olhando para a sequência desta forma, procuramos maneiras de escrever a um n em termos de n . Você vê como podemos fazer isso?
Observe que o primeiro termo é igual a 10.000 / 1, o segundo termo é igual a 10.000 / 2 e assim por diante. Continuando isso, temos que o n º prazo é igual a 10.000 / n . Ah-ha! Nós temos uma fórmula para o n ésimo termo da sequência:
- a n = 10.000 / n
A segunda etapa é encontrar o limite de 10.000 / n conforme n se aproxima do infinito.
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Com certeza, vemos que o limite da sequência é zero, como suspeitamos. Como o limite da sequência existe, a sequência é convergente.
Vamos considerar mais alguns exemplos!
Exemplos
Considere a seguinte sequência:
- 1, 4, 9, 16, 25,. . .
Queremos determinar se a sequência é convergente ou não, então apenas seguimos nossos passos. O primeiro dos quais é o de encontrar uma fórmula para o n ésimo termo da sequência. Você vê? Se não, vamos examinar cada termo como fizemos antes.
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Vemos que o n º termo da seqüência pode ser representada como n 2 , por isso temos o seguinte:
- a n = n 2
Agora, acabamos de encontrar o limite!
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Percebemos que o limite da sequência é infinito, o que não é um número, portanto, a sequência não é convergente.
Mais um exemplo! Mesma pergunta, sequência diferente:
- 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,. . .
Queremos determinar se essa sequência é convergente. Primeiro, encontramos nossa fórmula para a n observando os termos um a um e procurando padrões.
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Obtemos que o n º prazo é igual a n / ( n + 1).
- a n = n / ( n + 1)
Agora, encontramos o limite de n / ( n + 1) conforme n se aproxima do infinito.
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Obtemos que o limite da sequência é 1, que é um número, então o limite existe e a sequência é convergente. Acho que estamos pegando o jeito com isso!
Resumo da lição
Uma sequência é uma lista de números em uma ordem específica:
- a 1 , a 2 , a 3 , …
onde um n é o n ésimo termo da sequência.
Chamamos um número que os termos da sequência se aproximam de um limite da sequência. Nem todas as sequências têm um limite existente. Quando uma seqüência tem um limite que é um número e existe, nós a chamamos de seqüência convergente . Para determinar se uma determinada sequência é convergente, usamos as duas etapas a seguir:
- Encontre uma fórmula para o n- ésimo termo, ou um n , da sequência.
- Encontre o limite dessa fórmula conforme n se aproxima do infinito. Se o limite existe, a sequência é convergente. Caso contrário, a sequência não é convergente.
Ser capaz de determinar se uma sequência é convergente ou não realmente nos ajuda a analisar a sequência e o que ela representa em uma situação da vida real, então vamos armazenar esse processo em nossa caixa de ferramentas matemáticas para uso futuro!