Resolvendo Triângulos Corretos
O hambúrguer clássico: uma maravilha da cozinha eficiente! Em um sanduíche compacto, temos todos os grupos de alimentos básicos. Carne (ou soja), grão, vegetal … Falta alguma coisa? Que tal laticínios? Que tal frutas? Se nos derem um hambúrguer, podemos identificar o que temos e encontrar as partes que faltam? Certo! E podemos fazer a mesma coisa com triângulos retângulos. Embora triângulos retângulos possam não ser tão saborosos.
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Nesta lição, resolveremos os triângulos retângulos , o que significa determinar todos os comprimentos laterais e medidas de ângulo. Normalmente, isso envolve uma combinação do teorema de Pitágoras, razões trigonométricas e razões trigonométricas inversas. Aqui, vamos nos concentrar no uso de razões trigonométricas inversas. Primeiro, revisaremos alguns fundamentos do triângulo. Em seguida, definiremos as funções trigonométricas inversas e mostraremos como usá-las em dois casos. Talvez possamos resolver o hambúrguer também.
Triângulos retos: o básico
Antes de começarmos a resolver problemas, vamos revisar alguns fatos úteis e terminologia sobre triângulos retângulos.
• Em primeiro lugar, por definição, sabemos que um triângulo retângulo tem três ângulos internos, um dos quais é reto , ou 90º.
• Também sabemos que um triângulo retângulo consiste em três lados. O lado próximo a um determinado ângulo é chamado de adjacente a esse ângulo. O lado oposto a um determinado ângulo é denominado oposto . O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa . Os outros dois lados são chamados de pernas .
• Podemos relacionar os comprimentos desses lados usando o teorema de Pitágoras , o que significa que se elevarmos ao quadrado o comprimento de cada perna e somarmos esses valores, obteremos o comprimento da hipotenusa ao quadrado.
• Por último, temos nossas três razões trigonométricas primárias: seno (oposto / hipotenusa), cosseno (adjacente / hipotenusa) e tangente (oposto / adjacente).
Usando esses fatos, que afirmações podemos fazer sobre o triângulo retângulo genérico abaixo?
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aqui estão alguns exemplos:
• O ângulo oposto ao lado c é um ângulo reto
• O lado c é a hipotenusa
• a 2 + b 2 = c 2
• O lado a é o ângulo oposto α e adjacente ao ângulo β
• O lado b é o ângulo oposto β e adjacente ao ângulo α
• Sin (α) = a / c, cos (α) = b / c, tan (α) = a / b
• Sin (β) = b / c, cos (β) = a / c, tan (β) = b / a
Precisamos de todas essas informações para resolver triângulos? Talvez talvez não. Para descobrir, vamos fazer alguns exemplos nos quais temos os comprimentos de dois lados. Batatas fritas e rodelas de cebola? Não, não esse tipo de lado.
Resolvendo um Triângulo Direito Dados os Comprimentos de Dois Lados (as Pernas)
Digamos que recebamos os comprimentos de duas pernas de um triângulo retângulo. Como resolvemos o triângulo usando razões trigonométricas inversas?
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Razões trigonométricas inversas, você diz?
Se sin (α) = 0,894, então α é ‘um ângulo cujo seno é 0,894’. O caminho mais curto para escrever ‘um ângulo cujo seno é 0,894’ é arcsin (0,894). Também podemos escrever arcsin como sin -1 . Esta é a função inversa do seno. Mas tenha cuidado! Estamos usando -1 para denotar uma função inversa, NÃO uma recíproca. Assim, sin -1 (0,894) não significa a recíproca de sin (0,894), que seria escrito como sin (0,894) -1 . Observe a colocação de -1 . A maioria das calculadoras possui botões para sin -1 , cos -1 e tan -1 . Assim, as calculadoras podem fornecer as respostas para arcsin , arccos earctan . Em nossos exemplos, os ângulos são descritos como vários graus, portanto, certifique-se de configurar sua calculadora para graus.
Neste exemplo, não temos um valor para a hipotenusa. Portanto, as funções seno e cosseno não são as melhores escolhas. O que temos são os lados opostos e adjacentes dos ângulos α e β. Portanto, faz mais sentido usar a tangente. Ao conectar nossos valores fornecidos, obtemos:
tan (α) = a / b = 10/5 = 2. Portanto, α = tan -1 (2) = 63,4º (usando uma calculadora).
E para o outro ângulo:
tan (β) = b / a = 5/10 = 0,5. Portanto, β = tan -1 (0,5) = 26,6º (novamente, usando uma calculadora).
Resolvendo um Triângulo Direito Dados os Comprimentos de Dois Lados (a Hipotenusa e uma Perna)
Digamos que recebamos novamente os comprimentos de dois lados, mas desta vez um dos lados é a hipotenusa. Como resolvemos o triângulo usando razões trigonométricas inversas?
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Agora que temos a hipotenusa mais uma perna, faz mais sentido usar seno e cosseno:
Sin (α) = oposto / hipotenusa = 10 / 11,18. Portanto, α = sin -1 (10 / 11,18) = 63,4º.
Cos (β) = adjacente / hipotenusa = 10 / 11,18. Portanto, β = cos -1 (10 / 11,18) = 26,6º.
E o terceiro lado? As funções trigonométricas inversas nos fornecem ângulos, mas ainda precisamos de um comprimento do terceiro lado nesses exemplos de triângulos para completar a solução. Para resolver o resto do triângulo, poderíamos usar o teorema de Pitágoras ou uma razão trigonométrica apropriada. E para resolver o hambúrguer poderíamos segurar as batatas fritas e usar um lado de mirtilo e um copo de leite.
Resumo da lição
Resolver um triângulo significa encontrar os valores para todos os ângulos e lados internos. A estratégia a ser usada depende do que sabemos sobre um determinado triângulo. Para um triângulo retângulo , um dos ângulos é um direito ângulo de 90º. Se soubermos o valor de dois lados, podemos usar proporções trigonométricas inversas como arcsin , arccos ou arctan para encontrar os ângulos. O lado adjacente é o lado próximo a um dado ângulo, o lado oposto é o lado oposto ao ângulo e a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Teorema de Pitágorasou uma das razões trigonométricas também pode ser usada para encontrar um terceiro lado. As três razões trigonométricas primárias são seno (oposto / hipotenusa), cosseno (adjacente / hipotenusa) e tangente (oposto / adjacente).