Viajando em uma esfera
Vamos fazer uma viagem. Começaremos a leste da Venezuela, América do Sul, em um país chamado Suriname. Em seguida, voaremos para o leste por 7332 km e pousaremos na Guiné Equatorial, na África, que fica entre o Gabão e os Camarões. Procurando um clima um pouco mais frio, seguimos para noroeste por 8145 km e visitamos o território de propriedade francesa de Saint Pierre e Miquelon, que fica muito perto da Ilha do Príncipe Eduardo, na América do Norte. Finalmente, vamos completar esta aventura voltando para o Suriname. Esta última parte do vôo tem 5004 km.
Podemos esboçar a rota de viagem da seguinte forma:
 |
O único problema com este mapa é que vivemos em um planeta que tem uma forma quase esférica. Uma imagem mais realista da nossa viagem:
 |
Em uma superfície plana, a distância mais curta entre dois pontos é uma linha reta. E quando conectamos três pontos não sobrepostos com três linhas retas, obtemos um triângulo. Uma situação semelhante ocorre em uma esfera.
No entanto, em uma esfera, a distância mais curta entre dois pontos é ao longo de um arco. Este arco faz parte de um círculo cujo centro está na origem da esfera. Este círculo é chamado de grande círculo . O equador é um grande círculo e todas as linhas de longitude também.
Um triângulo em uma esfera com um (mas não mais do que um) ângulo de 90 o é chamado de triângulo esférico de ângulo reto. Os locais da jornada foram selecionados para ter um 90 o (entre o Suriname ea Saint-Pierre Território).
Vamos definir alguns ângulos.
Uma linha de raio é uma linha de um ponto na esfera até o centro da esfera. Se desenharmos uma linha de raio do Suriname e outra linha de raio da Guiné Equatorial, formaremos um ângulo interno , b . O valor deste ângulo em radianos é o comprimento do arco dividido pelo raio. É comum considerar esferas com raio igual a 1. Neste caso, o ângulo interno é igual ao comprimento do arco.
 |
Temos outro ângulo interno, c que descreve a distância da Guiné Equatorial ao Território de Saint-Pierre:
 |
E um terceiro ângulo interno, um :
 |
É comum escrever os ângulos internos em letras minúsculas e colocá-los ao lado dos arcos. As letras maiúsculas, A , B e C , são ângulos de superfície e nos fornecem informações sobre os títulos inicial e final de cada caminho. As letras são organizadas de forma que uma letra maiúscula seja oposta à mesma letra, mas em minúsculas.
 |
Agora é hora de mostrar como esses ângulos estão relacionados.
Relacionando os Seis Ângulos
Ao lidar com um plano, temos uma regra de seno e uma regra de cosseno. Existem versões dessas duas regras para a esfera.
A regra seno para esferas:
 |
A regra do cosseno para esferas:
 |
Essas equações são bastante gerais. Eles são consideravelmente simplificados para o nosso caso de triângulos esféricos retos porque o ângulo C é 90 o . Assim, cos C = 0 e sen C = 1.
Vamos fazer alguns exemplos.
1. Dada a distância do Suriname à Guiné Equatorial é de 7.372 km e o raio da Terra é de 6.371 km, encontre o ângulo interno, b , em radianos.
b = 7332/6371 = 1,1508 radianos.
2. O ângulo interno, c , em nosso exemplo é 73,2497 o . Encontre a distância da Guiné Equatorial ao Território de Saint-Pierre.
Primeiro, converta de graus para radianos:
 |
Este é o valor do ângulo c em radianos.
Em seguida, calcule a distância:
Distância = c (raio da Terra)
Distância = 1,2784 (6371 km) = 8145 km.
3. Usando os valores de b e c encontrar o ângulo interno, um .
Vamos usar a última das três equações da regra do cosseno:
 |
Note, o último termo na equação terceiro cosseno é zero porque estamos multiplicando por cos C .
Substituindo b e c :
 |
Resolvendo para cos a :
 |
Tomando o cosseno inverso, obtemos um :
 |
Agora temos todos os ângulos internos:
-
a = 0,7859 radianos
-
b = 1,1508 radianos
-
c = 1.2784 radianos
4. Encontre os ângulos da superfície, A e B em graus. Lembre-se, C = 90 graus, então sen C = 1.
Esta é uma boa oportunidade para usar a lei do seno.
Assim, de sin a / sin A = sin c / sin C = sin c / 1, temos:
 |
Então, A = arcsin (0,7388) = 0,8313 radianos.
Para converter em graus, multiplique por 180 / π:
0,8312 (180) / π = 47,6 o .
Da mesma forma, para encontrar B :
 |
Então, B = arcsin (0,9536) = 1,2646 radianos.
Convertendo em graus:
1,2646 (180) / π = 72,5 o .
Resumo da lição
A distância mais curta entre dois pontos em uma esfera é a distância ao longo de um grande círculo . Um grande círculo é um círculo na superfície de uma esfera cujo centro está na origem da esfera. Os triângulos em uma esfera que têm apenas um ângulo de 90 o são chamados de triângulos esféricos retos . Existem três ângulos internos e três ângulos de superfície . Se conhecermos dois, podemos encontrar os outros quatro usando as leis dos senos e cossenos para as esferas.