Identificando Inversos Aditivos
Os sistemas de equações nesta lição contêm três equações com três variáveis. O sistema é resolvido quando encontramos um valor para cada variável que satisfaça todas as três equações. Existem muitas estratégias que podem ser usadas para resolver as variáveis. Nesta lição, enfocamos o método de eliminação.
O objetivo do método de eliminação é que uma ou mais variáveis sejam eliminadas quando as equações são adicionadas. Se virmos que uma equação tem um termo com o inverso aditivo de um termo em outra equação, esses termos serão eliminados. Os termos são considerados inversos aditivos quando sua soma é zero. A imagem a seguir mostra exemplos de inversos aditivos. Observe que os termos contêm a mesma variável e coeficiente, mas eles têm sinais opostos.
![]() |
Aplicando o Método de Eliminação
![]() |
Observe que os termos x na Equação 1 e na Equação 2 são inversos aditivos. Quando somamos as equações, a variável x será eliminada, deixando as variáveis y e z . Infelizmente, não podemos resolver uma equação que tem duas variáveis. Portanto, teremos que continuar procurando outros padrões no sistema que possam ser úteis.
![]() |
Equações 1 e 3 têm inversos aditivos para os x termos e y termos para que quando adicioná-los, ambas as variáveis serão eliminados. A nova equação, 3 z = 3, tem apenas uma variável que podemos resolver. Dividindo por três em ambos os lados, ficamos com z = 1.
![]() |
Agora que sabemos o valor de z , podemos substituí-lo em nossa nova equação de 2 y – z = -11 e resolver para y . Uma vez que conhecemos os valores de duas variáveis, podemos substituí-los em uma das equações originais e resolver para a terceira variável.
![]() |
A solução para o sistema é (2, -5, 1).
![]() |
Os termos y na Equação 4 e na Equação 5 são inversos aditivos, então vamos começar adicionando essas equações.
![]() |
Não há outros inversos aditivos neste sistema de equações. Mas se multiplicarmos a Equação 6 por dois, ela terá inversos aditivos com a Equação 5. Depois de adicionar as equações, ficaremos com uma variável para resolver.
![]() |
Depois de adicionar as equações, ficamos com -2 z = 18. Dividindo ambos os lados por -2, descobrimos que z é igual a -9. Podemos então substituir z por -9 em 7 x – 3 z = 27 e resolver por x . Depois de saber os valores de x e z , podemos substituí-los em uma das equações originais no sistema para resolver para y .
![]() |
A solução para o sistema é (0, 3, -9).
Resumo da lição
Os sistemas de equações de três equações têm três variáveis. O objetivo é encontrar o valor de cada variável que satisfaça todas as três equações. O método de eliminação funciona bem quando as equações contêm inversos aditivos ou se uma equação pode ser multiplicada por um número para criar inversos aditivos. Quando as equações são somadas, uma ou duas das variáveis são eliminadas, tornando mais fácil resolver para as variáveis restantes.