Resolvendo Sistemas de Equações
 |
Uma das minhas lojas de bairro favoritas é a loja de conveniência sem nome. Eles vendem muita comida a preços maravilhosos. Mas esta é uma loja de baixo custo. As latas não são rotuladas e os preços não são cotados. Você seleciona seu produto e paga em dinheiro. Esta manhã comprei 4 latas de sopa e 3 latas de atum. Tudo por $ 6,50. À tarde, voltei e paguei $ 2 por 1 lata de sopa e 1 lata de atum. Nenhum recibo é dado nesta loja. O custo de cada item é óbvio. Ou é?
Usando matrizes, vamos configurar e resolver as equações para determinar o custo de cada item.
Configurando as Equações
Na manhã seguinte, a compra de 4 latas de sopa e 3 latas de atum por $ 6,50 poderia ser escrita:
 |
As compras à tarde para 1 lata de cada, totalizando US $ 2, é a equação:
 |
Uma matriz é conveniente para armazenar os dados neste sistema de equações . O número de latas compradas são os coeficientes das variáveis s e t . Esses coeficientes são colocados em uma matriz com 2 linhas e 2 colunas. Vamos chamar isso de matriz A e escrevê-la como:
 |
É comum escrever Ax = b onde x é uma matriz com uma única coluna contendo as variáveis desconhecidas. No nosso caso, x tem as s e t variáveis. O b é o lado direito das equações. Para nós, é o 6.5 e o 2.
Para incluir o lado direito das nossas equações dentro da matriz, escrever uma nova matriz chamada C . Esta matriz é chamada de matriz aumentada porque tornamos a matriz A ‘maior’. Aqui está a matriz C :
 |
Antes de resolver os preços dos alimentos sem nome, vamos dar uma olhada em algumas operações que podemos fazer na matriz aumentada.
Operando na Matriz Aumentada
Trocar uma linha por outra na matriz aumentada é como reordenar as equações. Multiplicar uma linha por uma constante é como multiplicar cada lado de uma equação pelo mesmo número. Ambas as ações são permitidas com equações comuns. Além disso, podemos adicionar uma linha a outra linha . Isso faz sentido em termos de como as equações funcionam, porque o lado esquerdo é igual ao lado direito.
A estratégia de solução é continuar operando nas linhas da matriz aumentada até:
 |
Terminamos quando a matriz de identidade substitui a matriz A. Uma matriz de identidade possui 1’s ao longo da diagonal e 0’s em todas as outras partes. O valor b 1 será a solução para s enquanto o valor b 2 será a solução para t .
Se multiplicar matrizes é algo novo, aqui está um breve exemplo. Digamos que desejamos multiplicar as duas matrizes a seguir:
 |
A matriz resultante terá 2 linhas e 2 colunas. A linha 1 da primeira matriz é [2 3]. Multiplique isso pela coluna 1 da segunda matriz. Esta é uma multiplicação termo a termo onde adicionamos os produtos. É 2 (6) + 3 (8) = 12 + 24 = 36. Este 36 é inserido como a primeira linha, primeira coluna na matriz de resultado. A linha 1 da primeira matriz vezes a coluna 2 da segunda matriz é 2 (7) + 3 (9) = 14 + 27 = 41, que colocamos na primeira linha, segunda coluna da matriz de resultado. A primeira matriz, linha 2 vezes a segunda matriz, coluna 1 dá 4 (6) + 5 (8) = 64. E a primeira matriz, linha 2 vezes a segunda matriz, coluna 2 é 4 (7) + 5 (9) = 73. A multiplicação da matriz concluída é:
 |
Resolvendo o Sistema de Equações
Para resolver nosso sistema de equações, queremos transformar a parte A de nossa matriz aumentada (as primeiras 2 linhas e 2 colunas) na matriz de identidade. Observe que a segunda linha da matriz C para os preços de nossa loja de conveniência tem 1 na primeira entrada.
|
Podemos trocar a primeira linha pela segunda linha. Então, a primeira linha, a entrada da primeira coluna seria definida como 1. A abreviação para essa troca é R 1 ↔ R 2 . Por extenso: a linha 1, R 1 , é substituída pela linha 2, R 2 . Essa troca de linhas pode acontecer multiplicando-se a matriz C pela seguinte matriz E :
 |
É como mágica! Multiplicando pela matriz E , faz uma troca de linha:
 |
Em seguida, gostaríamos que o 4 na linha 2, coluna 1, fosse zero.
 |
Basta multiplicar a primeira linha por -4 e adicionar o resultado à linha 2. Não alteramos a linha 1. Em resumo, -4R 1 + R 2 → R 2 . A matriz que faz esta multiplicação e adição é M 1:
 |
Portanto,
 |
Observe que, à medida que continuamos a transformar a parte A da matriz C , a terceira coluna muda. Em seguida, transforme -1 em +1:
 |
A abreviação é (-1) R 2 → R 2 . Use a matriz M 2:
 |
Isto dá
 |
Finalmente, altere 1 na linha 1, coluna 2, para zero, que é (-1) R 2 + R 1 → R 1 . Use a matriz M 3 :
 |
O resultado final:
 |
Duas observações principais. Primeiro, a solução é a terceira coluna. O custo de uma lata de sopa é $ 0,50 e o atum custa $ 1,50 por lata. Em segundo lugar, o produto das matrizes de mudança M 3 M 2 M 1 E com a matriz A transformou o A na matriz identidade.
Esta é a definição do inverso de A escrito A -1 . Portanto,
 |
Multiplicar qualquer matriz com n linhas en colunas por seu inverso nos dará a matriz de identidade. Podemos usar operações de matriz aumentada para resolver sistemas com 3, 4 ou mais equações; estaremos apenas trabalhando com matrizes maiores. Tudo isso para ter um preço informado na loja sem nome! Eu me pergunto quanto uma lata de presunto vai me custar?
Resumo da lição
Sistemas de equações podem ser resolvidos usando matrizes. Primeiramente, escrevemos uma matriz aumentada onde os números do lado direito são anexados como uma coluna adicional à matriz A. Os coeficientes das variáveis compõem a uma matriz . Então, usando a multiplicação de matrizes com matrizes de mudança , mudamos a matriz aumentada até que uma matriz de identidade substitua a matriz A. A coluna adicionada agora contém a solução para o sistema de equações. Multiplicando as matrizes de mudança em conjunto nos dá a inversa da A matriz .