Sistema Linear em Duas Variáveis
Sistemas lineares em duas variáveis são comuns em matemática. Você os verá mais e mais conforme progride. Eles são coleções de duas equações com duas variáveis e sem expoentes. Existem vários métodos que você pode usar para resolver esses sistemas.
Vamos falar sobre o método que usa matrizes e determinantes nesta vídeo-aula. Reserve um momento para refrescar sua memória, se necessário, sobre como criar matrizes a partir de equações e também como encontrar os determinantes de matrizes.
Que tipo de problema você espera resolver? Por exemplo, sistemas lineares em duas variáveis podem resolver um problema como quantos cães e gatos existem em uma loja de animais.
Digamos que o dono de uma loja de animais diga que sabe que tem um total de 50 cães e gatos e que, quando subtrai o número de gatos dos cães, ele obtém 30. Bem, você pode ajudá-lo totalmente a descobrir quantos gatos e cães que ele tem, criando este sistema linear em duas variáveis:
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A primeira equação informa que, quando você soma o número de cães e gatos, obtém um total de 50. A segunda equação informa que, ao subtrair o número de gatos dos cães, obtém-se 30. Este é o seu sistema.
Regra de Cramer
Para ajudá-lo a resolver este sistema, podemos usar a regra de Cramer. A regra de Cramer ensina como você pode resolver o sistema linear trabalhando apenas com determinantes. Primeiro, você cria sua matriz de coeficientes, que inclui apenas os coeficientes do lado esquerdo das equações. Então você encontra o determinante dessa matriz.
Vamos chamar esse determinante D . Então, para cada variável, você pega sua matriz de coeficiente e substitui os números constantes, que são os números do lado direito da equação, em cada coluna.
Portanto, para a variável c , você substitui os números constantes na primeira coluna da matriz de coeficientes. Para a variável d , você substitui os números constantes na segunda coluna da matriz de coeficientes.
Você então encontra os determinantes dessas matrizes. Para a variável c , chamaremos o determinante D sub c . Para a variável d , chamaremos o determinante D sub d .
A solução então é encontrada pela divisão. O c solução é C = D sub c / D . O d solução é d = D sub d / D . Como temos duas variáveis, precisamos encontrar três determinantes: um determinante geral e, em seguida, um determinante para cada variável.
Encontrando os Determinantes
Vamos vê-lo em ação agora. Primeiro criamos nossa matriz de coeficientes:
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Encontrando o determinante, obtemos 1 * 1 – 1 * -1 = 1 + 1 = 2. Portanto, D = 2. Este é nosso determinante geral. Agora precisamos de mais dois determinantes, um para cada variável. Em seguida, para a variável c , substituímos a primeira coluna pelos números constantes de 50 e 30. Obtemos isso para a matriz:
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Tomando o determinante, obtemos 50 * 1 – 1 * 30 = 50 – 30 = 20. Assim, D sub c é 20. Em seguida, substituímos a segunda coluna com os números constantes de 50 e 30 para encontrar D sub d . Conseguimos isso para a matriz:
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Tomando o determinante dessa matriz, obtemos 1 * 30 – 50 * -1 = 30 + 50 = 80. Então, D sub d é 80. Agora temos três determinantes que precisamos para resolver nosso sistema. Portanto, lembre-se, se você tiver duas variáveis, precisará de três determinantes: um geral e, em seguida, um para cada variável.
Encontrando a Solução
Agora, tudo que temos que fazer para encontrar nossa resposta é dividir nossos determinantes. O c solução é C = D sub C / D = 20/2 = 10. O d solução é d = D sub d / D = 80/2 = 40.
Isso significa que temos 10 gatos e 40 cachorros na loja de animais. Resolvemos o problema com sucesso e podemos contar ao dono da loja de animais o que encontramos.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos. Aprendemos que sistemas lineares em duas variáveis são comuns em matemática. Eles são coleções de duas equações com duas variáveis e sem expoentes. Você pode usar a regra de Cramer para ajudá-lo a resolver tal sistema.
Para usar a regra de Cramer , primeiro você encontrar o determinante de sua matriz coeficiente, D . Em seguida, para cada variável, você troca a coluna apropriada da matriz de coeficientes com os números constantes.
Então você encontra o determinante dessas matrizes. Você obterá D sub x e D sub y , um para cada variável. O x solução é, em seguida, D sub x / D e o y solução é D sub y / D .
Resultados de Aprendizagem
Depois que esta lição terminar, você será capaz de:
- Relembrar a regra de Cramer
- Identifique e resolva um sistema linear em duas variáveis