Problemas de proporção
Suponhamos que você esteja comparando o número de homens e mulheres em uma faculdade específica e, ao fazer isso, descubra que para cada nove mulheres há oito homens. Adivinha? Na verdade, você acabou de descobrir a proporção de mulheres para homens na faculdade, que é de 9 para 8.
Uma proporção é uma comparação de dois valores. Quando você encontrou a proporção de mulheres para homens na faculdade, estava comparando o número de mulheres para homens. Para indicar uma proporção de a para b , usamos as seguintes notações:
- a para b
- a : b
- a / b
Por exemplo, a proporção de mulheres para homens na faculdade pode ser escrita da seguinte maneira.
- 9 a 8
- 9: 8
- 9/8
Você está comigo até agora? Bom, vamos falar de problemas – problemas de proporção, quero dizer! Em matemática, quaisquer problemas envolvendo razões são chamados de problemas de razão . Esses tipos de problemas podem ser resolvidos usando proporções, onde uma proporção é uma equação de duas proporções iguais uma à outra. Em um problema de razão, queremos estabelecer uma proporção com a informação fornecida e então resolver a proporção para a quantidade desconhecida usando multiplicação cruzada.
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Vemos que, se tivermos uma proporção a / b = c / d , então ad = bc . Esse fato será muito útil ao resolver problemas de proporção.
Problemas de proporção envolvendo totais
Às vezes, os problemas de proporção envolvem o cálculo de totais para resolver o problema. Isso geralmente é indicado quando o problema fornece uma proporção e um total. Por exemplo, considere a faculdade novamente e suponha que nos digam que a proporção de mulheres para homens é de 9 para 8 e que há um total de 5.644 alunos na faculdade. Queremos saber quantas mulheres frequentam a faculdade. Observe que esse problema fornece a proporção e, em seguida, diz quantos alunos no total estão na faculdade, indicando que é um problema de proporção envolvendo totais.
Em geral, ao lidar com problemas de proporção envolvendo totais, podemos usar uma caixa de proporção para organizar e resolver o problema. Uma caixa de proporção tem colunas de proporção e quantidade real e linhas das variáveis envolvidas na proporção, junto com uma terceira linha de totais.
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Para resolver problemas de proporção envolvendo totais, tomamos estas etapas:
- Nomeie as incógnitas usando variáveis.
- Configure uma caixa de proporção com totais usando as informações fornecidas.
- Use a caixa de proporção para definir uma proporção.
- Resolva a proporção usando multiplicação cruzada.
Ok, são muitas informações de uma vez! Vamos analisar nosso problema de proporção de faculdades envolvendo totais por meio dessas etapas para nos ajudar a entender melhor o processo de resolução.
Sabemos que a proporção de mulheres para homens na faculdade é de 9 para 8 e que o número total de alunos na faculdade é de 5.644. Não sabemos a contagem real de mulheres ou a contagem real de homens na faculdade, então vamos representar esses valores como w e m , respectivamente. Tudo bem! Estamos prontos para configurar nossa caixa de proporção! Nossas colunas serão proporção e quantidade real, e nossas linhas serão mulheres, homens e totais.
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Agora só precisamos preenchê-lo com as informações que conhecemos!
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Isso não é tão difícil! A próxima coisa que precisamos fazer é configurar uma proporção. Como queremos saber o número de mulheres na escola, queremos que seja a única incógnita na proporção. Podemos definir a proporção de mulheres em relação ao total na coluna de proporção (9/17) e a proporção de mulheres em relação ao total na coluna de contagem real ( w / 5644). Essas duas proporções são iguais, pois estamos comparando as mesmas variáveis em cada uma delas, e isso nos dá nossa proporção!
17/09 = c / 5644
Quase pronto! Agora, só temos que resolver essa proporção para w . Como podemos ver em nossos cálculos:
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Em outras palavras, percebemos que há 2.988 mulheres na faculdade!
Outro exemplo
A proporção de maçãs para laranjas em uma mercearia é de 4 para 3. Existem 42 dessas duas frutas ao todo, e o gerente da loja quer saber quantas laranjas eles têm em estoque. Ah! É um problema de proporção envolvendo totais! Vamos ao trabalho. Em primeiro lugar, o nome do montante total de maçãs um e a quantidade total de laranjas S . Em seguida, configuramos e preenchemos nossa caixa de proporção com colunas de proporção e quantidade real e linhas de maçãs, laranjas e totais.
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Como queremos saber quantas laranjas existem, estabelecemos uma proporção com o como nossa única incógnita. Podemos usar a proporção de laranjas em relação ao total de ambas as colunas, dando a seguinte proporção:
3/7 = o / 42
Agora, simplesmente resolvemos essa proporção para o . Podemos ver em nossos cálculos que, quando multiplicamos cruzadamente nossas variáveis como fizemos em nosso exemplo anterior, obtemos:
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Portanto, obtemos que o = 18. Em outras palavras, sabemos que há 18 laranjas em estoque. Viu como esse tempo foi um pouco mais tranquilo? A prática definitivamente leva à perfeição!
Resumo da lição
Vamos levar alguns minutos para revisar o que aprendemos sobre a solução de problemas de proporção envolvendo totais. Os índices são comparações de dois valores. Os problemas que envolvem proporções são chamados de problemas de proporção , e alguns problemas de proporção envolvem encontrar totais para resolver o problema. Quando lidamos com problemas de proporção que envolvem totais, usamos as seguintes etapas para resolver:
- Nomeie as incógnitas usando variáveis.
- Configure uma caixa de proporção com totais usando as informações fornecidas.
- Use a caixa de proporção para definir uma proporção.
- Resolva a proporção usando multiplicação cruzada.
Embora esses passos possam exigir um pouco de prática para você pegar o jeito, eles se tornarão cada vez mais fáceis quanto mais você trabalhar com eles, então continue praticando!