Movimento harmônico simples
Quando estiver aprendendo a mecânica clássica da física pela primeira vez, você se verá estudando o movimento dos objetos muitas vezes. Você observará movimento linear, movimento de projétil, movimento circular e movimento harmônico. Nesta lição, veremos o movimento harmônico e, mais especificamente, um caso especial desse chamado movimento harmônico simples.
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Um objeto está passando por um movimento harmônico quando está oscilando para frente e para trás. Para ter uma boa ideia do que isso significa, imagine uma criança em um balanço. Conforme a criança balança para frente e para trás, ela está passando por um movimento harmônico. O movimento harmônico simples é um caso especial de movimento harmônico em que a aceleração do objeto é proporcional ao seu deslocamento e atua na direção oposta. Para colocá-lo de forma mais simples, com o movimento harmônico simples, o objeto oscila a uma taxa previsível e constante. Quando a criança no balanço continua se movendo continuamente, o movimento harmônico pode ser visto como simples. No entanto, se alguém começar a empurrá-los no balanço para fazê-los subir mais alto, o movimento deixa de ser simples.
Aceleração
Ao trabalhar com problemas de movimento harmônico simples, você precisará usar fórmulas que descrevem o movimento de um objeto. Para isso, precisamos encontrar fórmulas para aceleração, velocidade e deslocamento. Para derivá-los, começaremos com uma equação fundamental para o movimento harmônico simples, chamada Lei de Hooke .
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Essa equação nos diz que a força ( F x ) atuando sobre um objeto em movimento harmônico simples é igual ao negativo da constante da mola ( k ) vezes o deslocamento ( x ). Podemos usar essa equação para encontrar uma fórmula para a aceleração ( a ), lembrando que, em geral, a força é igual à massa ( m ) vezes a aceleração.
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Esta equação pode ser expandida usando a fórmula para frequência angular ( ω ). A frequência angular mede a velocidade com que um objeto está girando em um movimento circular. Veja, por exemplo, nossa pessoa no balanço. Se tivéssemos que traçar o caminho que eles percorrem no balanço, veríamos que eles estão se movendo para frente e para trás ao longo de uma curva imaginária. O que a velocidade angular mede é o quão rápido a pessoa está se movendo ao longo dessa curva. A frequência angular é medida em radianos por segundo.
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Se você olhar para trás em nossa definição original para movimento harmônico simples, você pode ver que esta é na verdade uma representação matemática dele. No lado esquerdo da equação, você tem aceleração e, à direita, você tem deslocamento atuando na direção oposta, conforme mostrado pelo sinal negativo.
Deslocamento
Para encontrar a equação de deslocamento para movimento harmônico simples, precisamos olhar um gráfico da posição de um objeto oscilante ao longo do tempo. Vamos imaginar que este objeto é uma partícula no final de uma mola. Começamos o gráfico com a mola na posição esticada para fazer a mola oscilar. Podemos ver no gráfico que, uma vez que soltamos e a partícula começa a se mover, seu gráfico de posição ao longo do tempo forma uma função de onda cosseno. Podemos então escrever o deslocamento da partícula usando a seguinte fórmula de onda do cosseno.
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Aqui, A é a amplitude da onda, ω é a frequência angular novamente, t é o tempo e φ ‘é a fase.
Velocidade e aceleração de revisitação
Agora temos duas de nossas três fórmulas e tudo o que resta fazer é encontrar a velocidade. Como a velocidade média é a derivada do deslocamento, podemos usar nossa fórmula de deslocamento para resolvê-la.
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Com isso, temos todas as nossas três equações, mas há mais uma etapa que podemos executar. Podemos verificar se nossas fórmulas estão corretas tirando a derivada da equação da velocidade. Se tudo o que fizemos estiver correto, devemos encontrar nossa fórmula para aceleração tomando esta derivada. Isso ocorre porque a aceleração média é igual à segunda derivada do deslocamento.
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Exemplo de problema
Vamos ver como podemos usar o que aprendemos trabalhando em um exemplo de problema. Imagine que você tem um peso oscilando em uma mola com amplitude de 3 m. Ele oscila com uma frequência angular de π / 2 por segundo em uma fase de π. Quais são as equações para o deslocamento, velocidade e aceleração dessa massa?
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Começamos a trabalhar nesse problema encontrando o deslocamento. Sabemos de nossa seção anterior que o deslocamento para um oscilador harmônico simples é o seguinte.
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Para esta etapa do problema, podemos usar isso e as informações que recebemos no problema para encontrar uma fórmula para o deslocamento dessa massa em uma mola.
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Neste ponto, poderíamos usar as fórmulas que encontramos anteriormente para velocidade e aceleração, mas nem sempre você receberá fórmulas ao trabalhar com problemas de física. Em vez de memorizar essas fórmulas, é mais fácil lembrar que a velocidade é a derivada do deslocamento e a aceleração é a derivada da velocidade.
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Com isso, encontramos todas as três equações para este problema, e a única fórmula nova que tínhamos que lembrar era a nossa equação de deslocamento.
Resumo da lição
Um objeto sofre movimento harmônico quando está oscilando para frente e para trás. Este movimento é chamado de movimento harmônico simples quando a aceleração do objeto é proporcional ao seu deslocamento e atua na direção oposta. Para encontrar o deslocamento, a velocidade e a aceleração de um objeto em movimento harmônico simples, começamos com uma fórmula importante chamada lei de Hooke .
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Podemos usar a fórmula, junto com a fórmula da frequência angular, para encontrar a fórmula da aceleração ( a ) para um oscilador harmônico simples.
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A fórmula de deslocamento ( x ) pode ser encontrada usando um gráfico de deslocamento x tempo para um oscilador harmônico simples.
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A seguir, a velocidade ( v ) de um oscilador harmônico simples pode ser encontrada tomando a derivada da fórmula de deslocamento.
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Como nota final, a fórmula de aceleração anterior também pode ser encontrada tomando a segunda derivada do deslocamento.
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