Funções Racionais
Olá. E bem-vindo a esta vídeo-aula sobre funções racionais . Lembre-se de que nossas funções racionais são aquelas funções que são a divisão de dois polinômios. Podemos ter funções racionais simples como 3 / x ou funções mais complicadas como ( x – 2) / ( x ^ 2 – 4 x + 4).
Nesta vídeo-aula, vamos aprender como resolver equações e desigualdades que envolvem essas funções racionais. Sim, você verá uma equação ou desigualdade que tem funções racionais em um ou ambos os lados da equação ou desigualdade. Você aprenderá as etapas necessárias para resolver esses problemas e, a seguir, darei algumas dicas sobre o que você deve ter em mente. Você se deparará com esses tipos de problemas com cada vez mais frequência conforme progride em sua matemática, portanto, saber como resolver esses tipos de equações será útil para você. E ei, você poderá ajudar seus amigos que precisam de ajuda com esses problemas.
Resolvendo uma Equação Racional
Vamos começar examinando a solução de uma equação com funções racionais. Vou te dar uma equação simples para manter as etapas claras. Os passos são os mesmos, não importa o tamanho das funções racionais. O que você precisa saber para começar é álgebra e como resolver vários tipos de polinômios, sendo o mais importante como fatorar quadráticas.
Imagine que você esteja fazendo um teste e tenha este problema:
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Você precisa resolver para x . Como você pode fazer isso? Você pensa na álgebra e lembra que quando vê um sinal de igual entre duas frações como essa, para resolvê-lo, você precisa fazer uma multiplicação cruzada. Então, você multiplica o numerador de um lado pelo denominador do outro lado e vice-versa. Agora você tem isso:
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Para continuar resolvendo, agora você precisa colocar todos os seus termos de lado. Então você subtrai o 9 de ambos os lados:
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A razão de você fazer isso é porque você tem um expoente conectado à sua variável. Se você resolveu sem mover todos os seus termos para o lado, pode perder algumas soluções. Agora que todos os seus termos estão de um lado, você pode prosseguir e resolver como fez na álgebra. Você vê que é um quadrático, então vá em frente e analise para resolver:
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Suas respostas são 3 e -3. Como estamos lidando com funções racionais aqui, precisamos conectar essas soluções de volta ao nosso problema original apenas para verificar se funcionam. Conectando 3 de volta ao problema original, obtemos 3/3 = 3 / 3. Isso se transforma em 1 = 1, que confere. Conectando -3 de volta ao problema original, obtemos 3 / -3 = -3 / 3. Isso se transforma em -1 = -1, que também é verificado. Ambos conferem, então temos duas soluções: 3 e -3.
Resolvendo uma Desigualdade Racional
Agora vamos ver como resolver uma desigualdade envolvendo funções racionais. Imagine que você ainda está fazendo o teste e agora vê este problema:
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Para resolver esse problema, agora você precisa analisar a função racional. Para fazer isso, você precisa encontrar onde a função racional é igual a 0 e onde as funções racionais são indefinidas. A função racional é igual a 0 quando o numerador é igual a 0 e é indefinida quando o denominador é igual a 0. Assim, você divide sua função racional em suas partes de numerador e denominador e resolve cada um para 0.
Resolvendo o numerador para 0, você obtém x = 0. Definindo o denominador igual a 0, você obtém x – 2 = 0. Resolvendo para x , você obtém x = 2.
Esses números que você acabou de obter dividem nossa função em intervalos. Ao inserir os números de teste em cada intervalo, podemos descobrir em qual intervalo (ou intervalos) nossa função racional é menor ou igual a 0.
Nosso primeiro intervalo é de negativo a 0. Podemos inserir -1 como um número de teste. Obtemos -1 / (-1 – 2) = -1 / -3 = 1/3. Este é um número positivo, portanto, este intervalo não é uma solução.
Nosso próximo intervalo é de 0 a 2. Podemos conectar 1,5 ou 3/2. Obtemos (3/2) / (3/2 – 2) = 3 / (2 (-1/2)) = 3 / (-1) = -3. Aha! Esse intervalo é negativo e se ajusta à minha desigualdade, então esse intervalo é uma solução. E o último intervalo? Vamos checar.
Nosso último intervalo é de 2 ao infinito positivo. Podemos conectar 3 para testar. Obtemos 3 / (3 – 2) = 3/1 = 3. Não, este intervalo não é uma solução porque obtivemos um número positivo maior que 0.
Nossa solução então é o intervalo de 0 a 2 inclusive. Podemos escrever isso como [0, 2], onde os colchetes mostram que estamos incluindo os números 0 e 2. Usaríamos parênteses se não estivéssemos incluindo esses números; por exemplo, se nossa desigualdade for menor que em vez de menor ou igual a.
Pontos a manter em mente
Agora vimos como resolver equações e desigualdades que envolvem funções racionais. Aqui estão algumas dicas para manter em mente.
- Escreva cada etapa. Não tente fazer isso em sua cabeça. A matemática pode ficar complicada com funções racionais maiores. Você quer ser capaz de ver todos os seus passos bem em um papel para que, se você cometer um erro em uma multiplicação ou sinal, possa vê-lo e corrigi-lo facilmente.
- Teste todas as suas soluções. É possível que algumas de suas soluções sejam soluções falsas. É sempre uma boa ideia conectar suas soluções na função original para ter certeza de que estão corretas. Além disso, se você cometeu um erro em algum lugar ao longo do caminho, esta verificação o informará.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos agora.
Funções racionais são aquelas funções que são a divisão de dois polinômios. Para resolver uma equação envolvendo funções racionais, multiplicamos os numeradores e denominadores. Em seguida, movemos todos os nossos termos para um lado. Em seguida, usamos nossas habilidades de álgebra para resolver.
Para resolver uma desigualdade envolvendo funções racionais, definimos nosso numerador e denominador como 0 e os resolvemos separadamente. Isso nos dará números que dividem nossa função em intervalos. Em seguida, fazemos um número de teste dentro de cada intervalo para descobrir qual intervalo atende a nossa desigualdade. Os intervalos que atendem a nossa desigualdade são os intervalos de solução.
Resultados de Aprendizagem
Depois de terminar esta lição, você será capaz de:
- Reconhecer funções racionais
- Resolva equações e desigualdades racionais
- Implementar dicas para trabalhar com esses tipos de problemas