Equações Cúbicas
O que são equações cúbicas? Equações cúbicas são aquelas cujo grau mais alto é 3, significando que a maior potência ou expoente é 3. Por que 3? Bem, pense em um cubo. Como você encontra o volume de um cubo? Como todos os lados têm o mesmo comprimento, você faz o cubo de um dos lados, o que significa que você leva o lado para a terceira potência.
Portanto, se tivéssemos um cubo que medisse 6 polegadas de cada lado, nosso volume seria 6 ao cubo, ou 6 elevado à terceira potência (6 ^ 3). Vê aquele pequeno 3? Concentre-se no pequeno. Quando você pensar em equações cúbicas, lembre-se deste pequeno 3 que está sempre lá para encontrar o volume de um cubo. Um exemplo de equação cúbica é a equação: x ^ 3 + 8 x ^ 2 + 19 x + 12 = 0. Você vê o pequeno 3?
O que você está prestes a aprender neste vídeo sobre como resolver esses tipos de equações o ajudará à medida que você continua crescendo em suas habilidades matemáticas. Você encontrará equações cúbicas em seus problemas e ao tentar resolver problemas de física do mundo real. Quando terminar de assistir a esta vídeo aula, você terá um método útil para resolver as equações cúbicas que encontrará na vida.
O processo que você está prestes a aprender exige que você saiba como executar a divisão sintética ou a divisão longa em seus polinômios. Se você ainda não sabe, reserve um tempo agora para atualizar suas habilidades de divisão polinomial.
O Rational Roots Test
O método que estou mostrando usa o que é chamado de teste de raízes racionais , que informa que as possíveis soluções ou raízes para um polinômio podem ser encontradas dividindo um fator do termo constante por um fator do número associado ao primeiro termo. Eu sei que isso pode parecer um pouco confuso agora. Mas deixe-me mostrar como funciona e tenho certeza de que fará mais sentido.
Encontrando sua primeira solução
Vamos resolver a equação cúbica: x ^ 3 + 8 x ^ 2 + 19 x + 12 = 0. Começamos aplicando o teste de raízes racionais para obter uma lista de nossas possíveis soluções ou raízes. Primeiro localizamos nosso termo constante, que é 12, e nosso primeiro termo, que é x ^ 3.
Qual é o número associado a x ^ 3? Como não vemos um número, sabemos que é 1. Agora vamos fazer uma lista de nossos possíveis fatores para cada um dos termos.
Nossos fatores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Não podemos esquecer as versões negativas de todos esses números também. Portanto, nossa lista completa de fatores de 12 é +/- 1, +/- 2, +/- 3, +/- 4, +/- 6 e +/- 12.
Em seguida, precisamos encontrar os fatores de 1, o número associado ao nosso primeiro termo. Que números se dividem uniformemente em 1? Há apenas um número, que é 1. Portanto, nossos fatores de 1 são +/- 1.
Agora, de acordo com o teste de raízes racionais, nossas soluções possíveis podem ser encontradas dividindo os fatores de nosso termo constante pelos fatores do número associado ao primeiro termo. Então, vamos pegar cada um dos nossos fatores de 12 e dividi-los pelos fatores de 1.
Se tivermos mais de um fator de nosso primeiro mandato, também dividiremos nossos fatores de nosso termo constante por esse número. Por exemplo, se o número associado ao nosso primeiro termo for 2, então os possíveis fatores de 2 são +/- 1 e +/- 2. Nós então dividiríamos cada um dos nossos fatores deste termo constante primeiro por +/- 1 e e novamente em +/- 2.
Temos apenas +/- 1 para nos preocupar, então nossa lista de soluções possíveis é esta. Esses números podem ser simplificados, pois a divisão por 1 nos dá nosso numerador. Portanto, nossa lista simplificada é as versões positiva e negativa de 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Agora que temos nossa lista, nosso trabalho é começar a conectar cada um deles em nossa equação para ver qual nos dará 0 como nossa resposta. Sim, isso é tentativa e erro. Lembre-se de que precisamos experimentar as versões positiva e negativa. Só precisamos continuar até encontrar um que funcione.
Vamos tentar o número 1 e ver o que ele nos dá. Conectando isso em nossa equação, obtemos 1 ^ 3 + 8 * 1 ^ 2 + 19 * 1 + 12 = 40. Não! Isso não funciona. Não é igual a 0. Portanto, precisamos tentar outro número. Bem, 40 não é particularmente próximo de 0 e estou adicionando tudo. Isso me diz que preciso de um negativo em algum lugar, então vamos tentar o número -3 a seguir.
Conectando -3, obtenho (-3) ^ 3 + 8 * (-3) ^ 2 + 19 * (-3) + 12 = -27 + 8 * 9 – 57 + 12 = -27 + 72 – 57 + 12 = 0. A-ha! Isso funciona! Recebo 0 como resposta. Então, isso me diz que -3 é uma das minhas soluções. Lembre-se de que as equações cúbicas sempre terão 3 soluções, mas nem todas podem ser soluções reais.
Encontrando as Outras Duas Soluções
Agora que encontramos uma solução, vamos encontrar as outras duas soluções. Para isso, precisamos dividir nossa equação cúbica por nossa primeira solução. Fazemos isso transformando nossa solução em um fator escrevendo ( x – k ), onde k é nossa solução. Como -3 é a nossa resposta, escreveremos ( x + 3). Obtemos o sinal de mais, pois estamos subtraindo um negativo, que se transforma em positivo.
Portanto, precisamos dividir x ^ 3 + 8 x ^ 2 + 19 x + 12 por ( x + 3). Para isso, vamos usar a divisão sintética ou a divisão longa. Usando a divisão sintética, eu entendo isso.
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Lembrando que quando usamos divisão sintética, usamos a solução do fator pelo qual estamos dividindo. Estamos dividindo por x + 3, então nossa solução é -3. Então, escrevemos esse número bem à esquerda.
O resultado final da divisão por divisão sintética é x ^ 2 + 5 x + 4. Portanto, para encontrar as outras duas soluções, resolvemos esta nova quadrática. Podemos resolvê-lo usando qualquer método com o qual nos sintamos confortáveis. Podemos usar a fórmula quadrática ou podemos resolver por fatoração. Vamos fatorar isso para resolver.
Fatorando x ^ 2 + 5 x + 4, obtemos ( x + 4) ( x + 1). A partir desses fatores, termino de resolver para obter x = -4 e x = -1 para minhas outras duas soluções. Agora estou feito. Minha resposta completa são minhas três soluções de x = -3, x = -4 e x = -1.
Resumo da lição
O que aprendemos? Aprendemos que existe uma maneira sistemática de resolver equações cúbicas , equações cujo grau mais alto é 3.
O teste de raízes racionais , que nos diz que as possíveis soluções ou raízes para um polinômio podem ser encontradas dividindo um fator do termo constante por um fator do número associado ao primeiro termo. Aplicamos o teste de raízes racionais à nossa equação cúbica para encontrar respostas possíveis. E então inserimos cada solução possível em nossa equação cúbica até encontrarmos uma que nos dê um zero para nossa resposta.
Depois de encontrar essa resposta, pegamos essa raiz e usamos a divisão sintética para dividir nossa equação cúbica por essa raiz. O resultado deve ser um quadrático, que podemos terminar de resolver usando o que sabemos sobre equações quadráticas. Devemos terminar com um total de três soluções.
Resultados de Aprendizagem
Assista a este vídeo e analise suas seções individuais para:
- Reconhecer e fornecer um exemplo de uma equação cúbica
- Implementar o teste de raízes racionais para identificar as raízes e resolver uma equação cúbica
- Percorra o processo de busca de soluções