Surds quadráticas e simplificação
Suponha que a área de uma pintura quadrada seja de 8 polegadas quadradas, e queremos saber o comprimento de seus lados para determinar se ela caberá em um determinado lugar em nossa parede. A área de um quadrado é igual ao quadrado de seu comprimento lateral.
- A = s 2 , onde s é o comprimento da lateral de um quadrado.
Portanto, para encontrar o comprimento do lado de nossa pintura, inserimos 8 para a área ( A ) e resolvemos a equação resultante para s .
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Terminamos com s = √ (8), ou 2√ (2), então este é o comprimento de um lado da pintura. Ótimo! Isso vai se encaixar perfeitamente!
Em matemática, chamamos o número √ (8) de surd quadrático. Um surd quadrático é uma expressão que contém raízes quadradas, de modo que o número sob a raiz quadrada é um número racional e não um quadrado perfeito.
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Observe que quando resolvemos para o comprimento lateral da pintura, obtemos √ (8), mas a resposta final foi 2√ (2). Isso ocorre porque simplificamos √ (8) para obter isso.
Quando se trata de surds quadráticos, colocá-los em termos mais simples significa reescrevê-los de forma que o número sob a raiz quadrada não tenha divisores que sejam quadrados perfeitos. Para simplificar um surd quadrático, usamos as seguintes etapas:
- Fatore o número sob a raiz quadrada de modo que seja escrito como um produto de quadrados perfeitos e um número que não seja um quadrado perfeito.
- Divida a expressão em um produto de raízes quadradas de cada fator.
- Simplificar.
Podemos observar esse processo simplificando √ (8) na imagem.
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Agora que sabemos o que é um surd quadrático e como simplificá-lo, vamos dar uma olhada em como realizar operações com surd quadrático, para que possamos usá-los para resolver equações envolvendo surd quadrático.
Adição e subtração
Suponha que queiramos fazer uma moldura para nossa pintura, então precisamos saber a distância ao redor da pintura, ou seu perímetro, para saber de quanto material de moldura precisamos. Para descobrir isso, precisaríamos somar os comprimentos dos quatro lados.
- Perímetro = 2√ (2) + 2√ (2) + 2√ (2) + 2√ (2).
Hmmm … para fazer isso, precisamos saber como realizar operações em surds quadráticas. Vamos explorar!
Quando se trata de operações em surds quadráticos, temos regras diferentes para adição, subtração, multiplicação e divisão. Primeiro, vamos olhar para adição e subtração.
Para adicionar ou subtrair expressões com surds quadráticas, seguimos estas etapas:
- Simplifique cada surd quadrático tanto quanto possível.
- Adicione ou subtraia termos semelhantes, onde termos semelhantes são termos que contêm o mesmo item quadrático.
Considere o perímetro da pintura novamente. Todos os termos são simplificados tanto quanto possível e podemos combinar cada um dos termos na soma, porque todos eles contêm o mesmo surd quadrático.
- Perímetro = 2√ (2) + 2√ (2) + 2√ (2) + 2√ (2) = (2 + 2 + 2 + 2) √ (2) = 8√ (2)
O perímetro é 8√ (2).
Agora, suponha que queremos resolver a seguinte equação para x :
- x – (2 – √ (2)) = 1 + 2√ (2)
Para isolar x , adicionaríamos 2 – √ (2) a ambos os lados:
- x = (1 + √ (8)) + (2 – √ (2))
Agora, nós apenas adicionamos as surds quadráticas seguindo nossas etapas.
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Obtemos que (1 + √ (8)) + (2 – √ (2)) = 3 + √ (2).
Isso é bastante fácil! Vamos considerar a multiplicação e divisão.
Multiplicação e divisão
A multiplicação de surds quadráticos é semelhante a simplificar surds quadráticos. Para multiplicar dois surds quadráticos juntos, usamos as regras mostradas na imagem.
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Simplificando, para multiplicar duas expressões contendo surds quadráticos, usamos nossas fórmulas e regras e, em seguida, simplificamos.
Vamos usar isso para resolver a seguinte equação para x :
- x / (3 – √ (5)) = (1 + 4√ (5))
Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por 3 – √ (5) para obter x sozinho.
- x = (1 + 4√ (5)) (3 – √ (5))
Agora vamos em frente e nos multiplicamos.
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Obtemos que x = -17 + 11√ (5)
Ok, por último, temos divisão. Dividir os números com excedentes quadráticos envolve racionalizar o denominador. Em geral, para racionalizar uma expressão, a + c √ ( b ), simplesmente a multiplicamos por a – c √ ( b ), porque isso resultará em um número racional.
- ( a + c √ ( b )) ( a – c √ ( b )) = a 2 – c 2 b
Para dividir surds quadráticos, fazemos o seguinte:
- Racionalize o denominador, a + c √ ( b ), multiplicando o numerador e o denominador por a – c √ ( b ).
- Simplificar.
Último exemplo! Suponha que queremos resolver a seguinte equação para x :
- (1 + √ (3)) x = 4
Começamos dividindo ambos os lados por 1 + √ (3) para isolar x .
- x = 4 / (1 + √ (3))
Agora, nós apenas seguimos nossas etapas de divisão.
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Obtemos que x = -2 + 2√ (3). Isto é tão legal! Não apenas sabemos agora como realizar operações em surds quadráticos, mas também conseguimos ver como usar essas operações para resolver equações envolvendo surds quadráticos!
Resumo da lição
Um surd quadrático é uma expressão que contém raízes quadradas, de modo que o número sob a raiz quadrada é um número racional e não um quadrado perfeito. Esses tipos de expressões aparecem com bastante frequência no mundo ao nosso redor. As surds quadráticas podem ser simplificadas, adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas, e podemos usar essas operações em surds quadráticas para resolver equações que as envolvem.
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Ser capaz de trabalhar com surdos quadráticos dessa forma nos permite analisar melhor como funcionam os diferentes cenários do mundo real que envolvem surdos quadráticos e resolver problemas nessas áreas. Quanto mais trabalhamos com essas expressões fascinantes, mais nos familiarizamos com elas, então continue praticando!