Equações com relações angulares
Existem algumas misturas de sucos realmente deliciosas, como laranja e manga. Que tal pêssego e limão? Ok, talvez não seja tão delicioso. Bem, que tal uma mistura de álgebra e geometria?
Na verdade, uma ótima combinação de álgebra e geometria acontece quando identificamos relações de ângulos geométricos e, em seguida, expressamos incógnitas usando equações algébricas. As relações de ângulo que veremos são ângulos suplementares, ângulos complementares e ângulos verticais.
Ângulos suplementares
Para começar essa deliciosa mistura, vamos olhar para uma linha reta e notar como é uma rotação de 180 o .
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Fato: ângulos suplementares somam 180 o .
Isso significa que, se conhecermos um dos dois ângulos suplementares , podemos calcular facilmente o outro. Neste exemplo, os ângulos de 150 o e x são complementares.
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Então 150 + x = 180. Ou seja, o ângulo x = 30 o .
Vamos mudar a orientação da linha reta e fazer com que o ângulo desconhecido seja alguma expressão algébrica.
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As etapas para resolver x :
- Identifique a relação do ângulo:
Há uma linha reta e vemos 150 oe 2 x são ângulos suplementares.
- Escreva uma equação:
150 + 2 x = 180; (ângulos suplementares somam 180 o )
- Resolva o desconhecido
150 + 2 x – 150 = 180 – 150; (subtraindo 150 de ambos os lados)
2 x = 30; (simplificando)
2 x / 2 = 30/2; (dividindo ambos os lados por 2)
x = 15; (simplificando)
Assim, x = 15 e o ângulo desconhecido é 2 x = 30 o .
E se a linha reta estiver em uma posição fora do padrão e houver mais linhas?
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As etapas ainda são as mesmas:
- Identifique a relação do ângulo:
Os ângulos de 60 o e 4 x são complementares.
- Escreva uma equação:
4 x + 60 = 180; (ângulos suplementares somam 180 o )
- Resolva o desconhecido:
4 x + 60 – 60 = 180 -60; (subtraia 60 de ambos os lados)
4 x = 120; (simplificar)
4 x / 4 = 120/4; (divida os dois lados por 4)
x = 30; (simplificar)
Assim, x = 30 e o ângulo desconhecido é 4 x = 120 o .
Continuando com nossa mistura de geometria e álgebra, examinamos a relação dos ângulos complementares.
Ângulos complementares
Um pequeno quadrado em uma figura indica um ângulo de 90 o .
Fato: ângulos complementares somam 90 o .
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Ver um pequeno quadrado em uma figura é uma pista para procurar ângulos complementares .
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Vemos que x e 50 o são complementares. Assim, x = 40 o . Vejamos um problema um pouco mais complicado.
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Usando as etapas:
- Identifique a relação do ângulo:
Os ângulos de 35 o e 2 x – 5 são complementares.
- Escreva uma equação:
2 x – 5 + 35 = 90; (ângulos complementares somados a 90 o )
- Resolva o desconhecido:
2 x + 30 = 90; (-5 + 35 é igual a 30)
2 x + 30 – 30 = 90 – 30; (subtraia 30 de ambos os lados)
2 x = 60; (simplificar)
2 x / 2 = 60/2; (divida os dois lados por 2)
x = 30; (simplificar)
Assim, x = 30 e o ângulo desconhecido é 2 x – 5 = 55 o .
Há mais uma relação de ângulo interessante para examinar.
Ângulos verticais
Quando duas linhas se cruzam, as linhas formam pares de ângulos iguais. Um par se parece com isto:
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As mesmas linhas cruzadas também formam outro par igual:
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Esses tipos de ângulos são chamados de ângulos verticais .
Fato: ângulos verticais são ângulos opostos um ao outro quando duas linhas se cruzam. Esses ângulos são congruentes . Os ângulos que são iguais são considerados congruentes.
Por exemplo, encontre o ângulo marcado com x :
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Duas linhas de cruzamento criam ângulos verticais. Assim, x = 35 o .
Um exemplo de revisão: Na figura a seguir, encontre os valores de x , y e z .
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Em primeiro lugar, essa figura parece ter letras por toda parte. Todos os lugares, exceto onde as linhas se encontram na origem. Iremos nos referir a este lugar como » O ».
Lembrando a Etapa 1: Identifique a relação do ângulo. Vemos um ângulo reto na AOE. Esta abreviação, » AOE », significa que o vértice está em O e o ângulo é formado pelos segmentos de linha AO e OE. Pode haver uma relação angular complementar que podemos usar. Os ângulos x em EOF e 20 o são complementares. Portanto, x + 20 = 90, e voila!
x = 70 o .
Que tal ângulos verticais? Procure linhas que se cruzam. Claro, a linha AD cruza a linha CF. Os ângulos opostos são iguais. Assim, y em COD é igual a 20 o .
Vê a linha AD? A relação de ângulo a ser identificada é ângulos suplementares somados a 180 o . Portanto,
y + z + (5 y + 10) = 180, e agora substituímos e resolvemos.
20 + z + 5 (20) + 10 = 180; tendo substituído 20 por y
130 + z = 180; tendo combinado 20 + 5 (20) + 10 para dar 20 + 100 + 10, que é 130
z = 50 o ; tendo subtraído 130 de ambos os lados
Vê como uma figura geométrica de aparência complicada pode ser resolvida usando relações angulares e álgebra?
Assim, a questão de como misturar geometria e álgebra foi respondida. Agora, podemos voltar a encontrar uma mistura alternativa para pêssegos e limões.
Resumo da lição
Usando álgebra e relações angulares, podemos resolver variáveis desconhecidas e ângulos desconhecidos. Primeiro, devemos identificar a relação do ângulo. Em seguida, devemos escrever uma equação. Então resolvemos o desconhecido e simplificamos. As relações de ângulo incluem:
- Ângulos suplementares são aqueles que somam 180 o .
- Os ângulos complementares são aqueles que somam 90 o .
- Os ângulos verticais são os ângulos opostos um ao outro quando duas linhas se cruzam. Esses ângulos são iguais. Os ângulos congruentes são iguais.