Desigualdades
Uma desigualdade é simplesmente uma sentença matemática que não é balanceada. Pense em uma escala de equilíbrio; uma equação teria cada lado da escala perfeitamente equilibrado, enquanto uma desigualdade resulta em um lado da escala sendo mais alto do que o outro. Em uma equação, os lados são separados por um sinal de igual (=). Em uma desigualdade, os dois lados da frase são separados por um sinal de desigualdade , que indica qual lado é maior por meio da referência ao primeiro lado (> maior que ou <menor que). Por exemplo, 11 <1 / 2x + 1 indica que 11 é menor que o valor de 1 / 2x + 1.
Adicione um sinal de igual ao símbolo de inequação ou apenas uma linha abaixo dele para indicar que os lados podem ser iguais (11 <= x é lido 11 é menor ou igual a x). As desigualdades que incluem um componente igual funcionam exatamente da mesma maneira que as desigualdades puras.
Desigualdades em duas etapas com frações
A especificação de uma desigualdade de duas etapas significa exatamente o que parece; são necessários dois passos para resolver a desigualdade. Podemos, novamente, usar nosso conhecimento de uma equação de duas etapas para nos ajudar aqui. Em uma equação de duas etapas, precisamos fazer duas coisas para isolar a variável.
- Início: 11 = 1 / 2x + 1
- Primeiro passo: 11-1 = 1 / 2x + 1 -1; 10 = 1 / 2x
- Segunda etapa: 10 (2) = 1 / 2x (2); 20 = x
Você pode ver que a primeira etapa remove a constante do lado com a variável e a segunda etapa isola completamente a variável para resolver a equação. As desigualdades funcionam da mesma forma.
Primeira etapa – adicionar o inverso
O primeiro passo para resolver uma desigualdade é adicionar o inverso da constante . Lembre-se de adicioná-lo aos dois lados! Adicionar o inverso é apenas fazer o oposto do que você vê. Exemplos de inversos: ’10 e -10 ‘e’ -5 e 5 ‘. Esse requisito não muda se houver uma constante fracionária na desigualdade; você ainda adiciona o inverso da fração a ambos os lados (removendo-o do lado sem alterar a proporção entre os lados).
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1: 12 <2x – 1/3. A primeira etapa é adicionar 1/3 a ambos os lados da equação para obter 12 + 1/3 <2x ou 37/3 <2x.
Exemplo 2: 3/5> -3x + 2. Subtraia 2 (adicionar o inverso de 2 é o mesmo que subtrair 2) de ambos os lados para obter 3/5 – 2> -3x ou -7/5> -3x.
Segunda etapa – multiplique o inverso
A segunda etapa do processo é isolar completamente a variável multiplicando ambos os lados da desigualdade pelo inverso do coeficiente (o número anexado à variável). Multiplicar pelo inverso em ambos os lados cancela o coeficiente sem alterar a proporção dos valores nos lados.
Vamos voltar aos exemplos anteriores e começar de onde paramos.
Exemplo 1: 37/3 <2x. Para multiplicar pelo inverso, precisamos multiplicar ambos os lados por 1/2 (cancelando assim o coeficiente porque 2 * 1/2 = 1). Obtemos 37/3 * 1/2 <x ou 37/6 <x.
Exemplo 2: -7/5> -3x. Multiplique ambos os lados por -1/3 para obter -7/5 * -1/3 < x ou 7/15 <x.
Você notou o que aconteceu com o sinal de desigualdade no exemplo 2? Quando você multiplica por um número negativo em ambos os lados da inequação, você deve inverter o sinal! Lembre-se, com as desigualdades, se você multiplicar por um negativo, inverta a direção do sinal.
Etapa opcional (um)
Ao lidar com frações, às vezes é mais fácil lidar primeiro com as frações e depois passar para o problema. Faça isso multiplicando cada termo pelo LCM (menor múltiplo comum) dos termos. Isso efetivamente transforma todas as frações em números inteiros sem alterar a proporção dos valores de um lado para o outro.
Vamos retornar aos exemplos e concluir esta etapa primeiro para ver como isso simplifica o problema.
Exemplo 1: 12 <2x – 1/3. A fração 1/3 é a única fração, então o MMC é 3. Multiplicamos cada termo por 3 para obter 36 <6x – 1. Agora não há mais frações e o problema é mais fácil de trabalhar.
Etapa 1: adicione 1 a ambos os lados: 37 <6x.
Etapa 2: Divida por 6 (multiplicar pelo inverso é o mesmo que dividir): 37/6 <x. Obtivemos a mesma resposta, mas não tivemos que lidar com a adição / subtração / multiplicação de frações.
Exemplo 2: 3/5> -3x + 2. O LCM é 5, portanto, multiplique cada termo por 5 para obter 3> -15x + 10.
Etapa 1: 3-10> -15x ou -7> -15x.
Etapa 2: -7 / -15 <x ou 7/15 <x.
Problemas de prática
Vamos tentar mais alguns juntos.
Problema prático 1: 1/2> -2x + 1/6
- Etapa opcional: use o LCM (12 = 2 * 6) para se livrar das frações: 6> -24x + 2.
- Etapa 1: adicione o inverso a ambos os lados: 6-2> -24x + 2 – 2; 4> -24x.
- Etapa 2: multiplique o inverso em ambos os lados e inverta o sinal se for negativo: 4 / -24 <x.
-1/6 <x
Problema prático 2: 3/5 <1 / 2x – 5/6
- LCM = 30. 18 <15x – 25.
- Adicione 25 a ambos os lados. 43 <15x.
- Multiplique por 1/15. 43/15 <x.
Resumo da lição
As etapas para resolver uma desigualdade de duas etapas são idênticas às de uma equação.
Primeiro: adicione o inverso da constante . Segundo: Multiplique o inverso do coeficiente .
Ao lidar com frações, é opcional (e mais fácil) limpar as frações multiplicando cada termo pelo LCM dos termos, resultando em todos os números inteiros.
Não se esqueça de inverter o sinal de desigualdade se precisar multiplicar por um negativo.