A Fórmula de Euler
A fórmula de Euler é notável! Relaciona o exponencial complexo, e i θ , às funções seno e cosseno.
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Sabemos sen π / 2 = 1 e cos π / 2 = 0. Vamos ver o que acontece na fórmula de Euler. Deixando θ = π / 2:
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Agora temos outra maneira de escrever i .
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Seno e cosseno são funções periódicas do período 2π. Portanto,
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O que é verdadeiro para todos os valores inteiros de n .
Para ser bem geral, podemos escrever i como
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Ter uma expressão para i como um exponencial complexo permite-nos encontrar a raiz quadrada de i .
Encontrando a raiz quadrada de i
O número imaginário, i , é igual à raiz quadrada de -1. Mas também podemos encontrar a raiz quadrada de i . Simbolicamente, podemos escrever a raiz quadrada de i usando um sinal de radical: √ i ou com i elevado à potência 1/2.
As etapas para encontrar a raiz quadrada de i :
Etapa 1: Escreva i como um exponencial complexo.
Já resolvemos isso, mas será útil organizar a expressão para o que vem a seguir. Como e ( a + b ) = e a e b ,
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Também podemos reordenar o produto desses expoentes,
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Etapa 2: tire a raiz quadrada.
Tiramos a raiz quadrada elevando cada lado da equação à 1/2 potência:
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No lado direito, o 1/2 se multiplica pelo argumento de cada expoente:
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Os 2 são cancelados na primeira exponencial e na segunda, π / 2 dividido por 2 é π / 4.
Etapa 3: Avalie e i n π.
Com n igual a qualquer inteiro, e i n π pode ser apenas 1 ou -1. Por exemplo, para n = 1:
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E para n = 2:
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Assim, a raiz quadrada de i é
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Etapa 4: Avalie e i π / 2 .
Avaliando o exponencial complexo com o argumento i π / 2 em termos de seno e cosseno:
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Tanto o seno quanto o cosseno de π / 4 são iguais a 1 / √2. Portanto,
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Fatorando o 1 / √2:
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E nós terminamos!
Resultado final
A raiz quadrada de i é dada por
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e
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Verificando o Resultado
Quadrar nosso resultado nos dará i . Primeiro, corrigimos:
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O mais ou menos, quando elevado ao quadrado, é apenas mais. O 1 / √2 ao quadrado é 1/2. Quando expandimos (1 + i ) 2 , obtemos
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Dado que i = √ (-1), i 2 = -1:
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O 1 e -1 cancelam a saída:
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Então, 1/2 de 2 i :
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E nosso resultado final confere.