Composições de Transformações
Não sou muito fã de videogame, mas, antigamente, era bem louco por Tetris, o jogo em que você move e gira peças geométricas feitas de quatro quadrados para completar linhas sem espaços abertos.
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Às vezes, eu poderia simplesmente deslocar uma peça ou girá-la uma vez quando ela cair. Essas mudanças e rotações individuais são exemplos de um conceito geométrico chamado transformações , mudanças em uma forma que podem afetar seu tamanho, localização ou orientação (a direção em que a forma está voltada). Freqüentemente, eu tinha que completar uma série de mudanças e rotações para fazer com que cada peça se encaixasse em um espaço aberto. Quando estava realizando mais de uma transformação, costas com costas, em uma única peça do jogo, estava realizando uma composição de transformações. A peça original do jogo, antes que eu fizesse qualquer alteração nela, seria chamada de pré – imagem , e a forma, após uma transformação ou composição de transformações, seria chamada de imagem. Vamos dar uma olhada em alguns tipos de transformações e, em seguida, em algumas composições delas.
Isometrias
Transformação rígida e isometria são termos que descrevem transformações que não mudam o tamanho de uma forma. Vamos examinar três tipos aqui. Uma translação altera a localização de uma forma sem alterar sua orientação. Neste caso, a pré-imagem, hexágono ABCDEF, foi transladada 6 unidades para a direita para se tornar a imagem, hexágono A’B’C’D’E’F ‘.
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Uma rotação muda a localização e orientação de uma forma girando-a. Para realizar uma rotação, você precisa saber o centro de rotação e o ângulo de rotação . Neste exemplo, a pré-imagem, triângulo ABC, foi girada, usando a origem do plano de coordenadas como centro. Imagine o triângulo oscilando em torno da origem em uma corda imaginária e girando na imagem, triângulo A’B’C ‘. Como a corda imaginária em seu antigo local e a corda em seu novo local formam um ângulo reto, o ângulo de rotação é de 90 graus. Também é importante observar que a rotação foi feita no sentido horário.
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Um reflexo altera a localização e a orientação de uma forma, virando-a ao longo de uma linha de reflexão . Desta vez, a pré-imagem, triângulo ABC, foi invertida sobre o eixo x, a linha de reflexão e uma cópia, a imagem A’B’C ‘, foi feita. Observe que cada vértice , canto da imagem está na direção oposta da pré-imagem, em relação ao eixo x. Por exemplo, B está 3 unidades acima do eixo x, e B ‘está três unidades abaixo do eixo x.
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Dilatações
Um exemplo de transformação que não é isometria é uma dilatação . Ao realizar uma dilatação, o tamanho de uma forma é alterado. Neste caso, o retângulo ABCD foi dilatado para A’B’C’D ‘. Como os comprimentos dos lados da imagem são a metade do comprimento da pré-imagem, o fator de escala da dilatação é 1/2.
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Teorema de Composição
Quando você realiza uma composição de isometrias , mais de uma transformação rígida, seu resultado final também será uma isometria. Em outras palavras, a imagem final pode ter uma mudança de localização ou orientação, mas ainda terá o mesmo tamanho. Isso é conhecido como Teorema de Composição . Freqüentemente, uma composição de transformações pode parecer uma única transformação.
Composições de transformações semelhantes
Por exemplo, se ABCD é transladado 2 unidades para cima e 3 para a direita, conforme mostrado pela seta verde, para A’B’C’D ‘, e é então transladado 4 unidades para a direita e 2 para baixo (ver seta azul) , tem o mesmo efeito como se ABCD tivesse acabado de ser transladado uma vez, 7 unidades para a direita (mostrado pela seta vermelha).
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Uma tradução também pode ser criada por uma série de reflexões. Aqui, no Diagrama 1, vemos que A é refletido duas vezes, uma vez na Linha 1 e novamente na Linha 2. Essas duas reflexões têm o mesmo efeito que uma única translação 8 unidades para a esquerda, como visto no Diagrama 2.
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É sempre o caso, como visto aqui, que quando você executa duas reflexões sobre linhas paralelas, você obtém o mesmo resultado que executar uma única tradução. Além disso, a distância da translação será sempre duas vezes o comprimento da distância entre as duas linhas paralelas, da mesma forma que 8 é o dobro do comprimento 4, mostrado no Diagrama 2.
Quando a pré-imagem é refletida no eixo y e depois no eixo x (ilustrado pelas setas azul e vermelha), ela tem o mesmo resultado final que girar a pré-imagem 180 graus ao redor da origem (ilustrado pela linha roxa). Este exemplo demonstra o fato de que duas reflexões, uma sobre cada eixo, sempre têm o mesmo resultado final que girar a pré-imagem 180 graus em torno da origem.
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Na verdade, a composição de duas reflexões sobre linhas que se cruzam sempre terá o mesmo resultado final que uma única rotação da pré-imagem, embora o ângulo de rotação varie.
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Composições de diferentes transformações
Ao contrário de todos os exemplos anteriores, as composições não precisam conter a mesma transformação. Um reflexo deslizante é uma composição de um reflexo e uma tradução.
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Aqui está um exemplo da composição de uma rotação e dilatação por um fator de escala de 1/3.
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Resumo da lição
Existem inúmeras maneiras de combinar várias traduções individuais, reflexões, rotações e dilatações em composições de transformação. Lembre-se de que, quando todas as transformações individuais que compõem a composição são isometrias, seu resultado final também será uma isometria. Depois de começar a compor mais de duas transformações, você descobrirá que o número de combinações possíveis é ainda maior! Este conceito é um fator importante no design gráfico de todos os videogames. Se você gosta de videogames, tem que agradecer as transformações geométricas!