Números Complexos e Diagramas de Argand
Diane gostaria de nos encontrar para almoçar. A maioria das pessoas simplesmente forneceria um endereço ou coordenadas, como latitude e longitude. Mas não Diane. Sua amiga é, bem, complexa, então ela diz que o ponto de encontro será nas coordenadas do diagrama de Argand que correspondem aos números 6 – 3i.
Os diagramas de Argand fornecem uma maneira de representar as informações contidas em um número complexo, como 6 – 3i. Nesta lição, definimos o diagrama Argand e usamos exemplos para mostrar muitos de seus recursos interessantes. Essas informações o ajudarão a encontrar o local de encontro de Diane a tempo para o almoço.
Eixo real e eixo imaginário
Primeiro, vamos começar com o reino do real. Ao traçar x e y valores num gráfico são os representantes visualmente informações ao localizar um ponto no plano cartesiano . O plano cartesiano é uma região bidimensional onde qualquer ponto do plano é localizado usando dois números reais. Pense sobre o ponto (3, 4). O valor x , 3, é encontrado no eixo horizontal e pensamos em uma linha vertical cruzando o eixo horizontal no local x = 3. O valor y , 4, é encontrado no eixo vertical, e uma linha horizontal atravessa o eixo vertical na localização do valor y . Essas linhas que cruzam os eixos se cruzam no ponto, (3, 4).
 |
A situação é análoga ao representar números complexos usando diagramas de Argand . Um número complexo como Z = 3 + 4i tem uma parte real , 3, e uma parte imaginária , 4. A parte sendo multiplicada pela letra i é a parte imaginária. A parte real é o número não multiplicado pela letra i.
Um diagrama de Argand plota a parte real no eixo horizontal e a parte imaginária no eixo vertical. As linhas que se cruzam representam a localização do número complexo. Outro nome para um diagrama de Argand é plano complexo . Portanto, um número complexo como Z = 3 + 4i teria as coordenadas (3, 4) em um diagrama de Argand.
 |
Observe que o eixo horizontal é denominado Real { Z } e o eixo vertical é denominado Imag { Z }, onde a palavra Imaginário foi encurtada para Imag.
Agora sabemos que precisamos de dois números para encontrar o local do almoço de Diane no diagrama de Argand, portanto, estamos no caminho certo.
Números complexos sem parte imaginária
É possível que um número complexo seja estritamente real e não tenha parte imaginária. Nesse caso, a parte imaginária é zero.
Exemplo 1: Em um diagrama de Argand, plote os seguintes números complexos:
Z 1 = -3
Z 2 = 2
Esses números têm apenas uma parte real. Suas partes imaginárias são zero. Ao traçar um número complexo que possui apenas uma parte real, o ponto fica no eixo horizontal.
 |
Números complexos sem parte real
Também é possível que um número complexo seja estritamente imaginário e não tenha parte real.
Exemplo 2: Em um diagrama de Argand, plote os seguintes números complexos:
Z 3 = -2i
Z 4 = i
Esses números têm apenas uma parte imaginária. Suas partes reais são zero. Ao traçar um número complexo com apenas uma parte imaginária, o ponto fica no eixo vertical.
 |
Números Conjugados Complexos
Um número complexo é o conjugado complexo de outro número complexo quando as partes imaginárias têm sinais opostos. Por exemplo, se Z = 2 + 3i, o conjugado complexo é Z = 2 – 3i.
Exemplo 3: Plote os seguintes conjugados complexos em um diagrama de Argand:
Z 5 = 1 + 2i
Z 6 = 1 – 2i
 |
Como as partes reais são iguais, os pontos são alinhados verticalmente. Como as partes imaginárias são iguais, mas de sinal oposto, os pontos são simétricos em relação ao eixo real.
Identificando Pontos no Diagrama de Argand
Em vez de localizar um ponto no diagrama de Argand a partir do número complexo, também podemos identificar o número complexo quando dado o ponto no plano complexo.
Exemplo 4: Identifique o número complexo para cada um dos pontos no diagrama de Argand.
 |
Z A e Z B são um par conjugado complexo devido à sua simetria em relação ao eixo real. Z A = -7 + 4i enquanto Z B = -7 – 4i.
Z C e Z D são estritamente reais porque estão no eixo real. Z C = 1 enquanto Z D = -5.
Z E e Z F são estritamente imaginários porque estão no eixo imaginário. Z E = 3i e é Z F = -i.
Z G tem uma parte real e uma parte imaginária. Não há nenhum par de conjugado complexo para este ponto no gráfico. Z G = 6 – 3i.
Do ponto Z G , agora sabemos o que Diane entende por 6 – 3i. Esse número corresponde às coordenadas (6, -3) no diagrama de Argand!
Felizmente, há duas ruas na cidade chamadas Real e Imaginária e as unidades provavelmente são quarteirões, então ela gostaria de se encontrar a 6 quarteirões à direita na Real e 3 quarteirões paralelos ao Imaginário. Complexo, mas fácil! Da próxima vez, vamos pedir comida para viagem.
Resumo da lição
O plano cartesiano é a região bidimensional onde os pontos são localizados usando dois números; um valor xe um valor y . Análogo ao plano cartesiano está o diagrama de Argand , também chamado de plano complexo , onde o eixo horizontal é a parte real de um número e o eixo vertical é a parte imaginária.
Os números que possuem uma parte real e uma parte imaginária são chamados de números complexos . A parte imaginária de um número complexo é a parte que multiplica a letra i, enquanto a parte real não é multiplicada pela letra i. Portanto, um número complexo como 6 – 3i corresponderia às coordenadas (6, -3) no diagrama de Argand.