Funções Racionais com Polinômios Lineares
A frase ‘funções racionais com polinômios lineares’ é um bocado, isso é certo. Mas não se preocupe, não é tão ruim quanto parece. Se dividirmos a frase em suas partes, veremos que não é tão ruim. Primeiro, as funções racionais são simplesmente frações de funções polinomiais. Um polinômio linear é um polinômio cujo expoente mais alto é 1. Portanto, uma função racional com polinômios lineares é uma fração de dois polinômios cujo grau mais alto é 1. Polinômios são aquelas expressões que combinam termos que consistem em variáveis e seus coeficientes com mais e menos.
Um exemplo de função racional com polinômio linear é a função f (x) = (x) / (x + 1) . Observe o numerador e o denominador e vemos que ambos são polinômios lineares. Tanto o numerador quanto o denominador consistem em funções cujo expoente mais alto é 1. Um atalho para identificar esse tipo de função é apenas olhar para x . Se o numerador e o denominador tiverem um x sem nenhum expoente mostrado, você está olhando para uma função racional com polinômios lineares. Este é o tipo de função que iremos representar graficamente nesta lição.
Assíntotas
A primeira etapa para representar graficamente essas funções é procurar assíntotas. Precisamos procurar assíntotas verticais , os valores x que tornam a função inválida, e assíntotas horizontais , o valor y que o gráfico alcança na extrema esquerda e extrema direita do gráfico.
Para encontrar nossas assíntotas verticais, precisamos nos perguntar: que situação tornará nossa função inválida? Em outras palavras, qual situação faz com que a função produza um erro? Vamos pensar sobre isso. Nossa função é essencialmente uma fração. O que sabemos sobre frações? Qual é o único número pelo qual nunca podemos dividir? É 0. Isso nos diz que se nosso denominador for igual a 0, nossa função produzirá um erro.
Então, em que valor de x nosso denominador é igual a 0? Como podemos descobrir isso? Encontramos esse valor definindo o denominador igual a 0. Nossa função é f (x) = (x) / (x + 1) e nosso denominador é x + 1. Definindo igual a 0, obtemos x + 1 = 0. Resolva isso subtraindo 1 de ambos os lados, obtemos x = -1. Portanto, nossa assíntota vertical é a linha vertical em x = -1. Podemos desenhar isso em nosso gráfico com uma linha tracejada em x = -1.
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A próxima coisa que procuramos é nossa assíntota horizontal. Para encontrar nossa assíntota horizontal, tudo o que precisamos fazer é olhar nossos coeficientes ao lado de nossa variável x . Em nosso caso, os coeficientes são 1 para o numerador e 1 para o denominador. Isso significa que nossa assíntota horizontal é y = 1/1 = 1.
Sim, a assíntota horizontal é simplesmente a fração dos coeficientes. Como você pode se lembrar disso? Pense sobre o significado de assíntota horizontal. É o comportamento do gráfico na extrema esquerda e na extrema direita do gráfico. É aqui que nossos valores x são grandes. Quando nosso x é grande, tudo o que adicionarmos ou subtrairmos não fará muita diferença, portanto, podemos ignorar esses números. Então, como o numerador e o denominador têm o mesmo x , podemos cancelá-los. Então, o que nos resta? Ficamos com os coeficientes.
Para nossa função f (x) = (x) / (x + 1) , para encontrar a assíntota horizontal, ignoramos o + 1 na parte inferior, o que nos deixa com y = x / x . Temos o mesmo x na parte superior e inferior, o que nos diz que podemos cancelá-los. Isso nos deixa com apenas os coeficientes y = 1/1. Podemos desenhar nossa assíntota horizontal y = 1 usando uma linha tracejada também.
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Agora que desenhamos nossas assíntotas, vemos que ele separa nosso gráfico em quatro áreas. Uma coisa a notar é que o gráfico nunca tocará ou cruzará a assíntota vertical. Então você verá o gráfico evitar essa linha como uma praga! A assíntota horizontal, por outro lado, é como o mel e atrai o gráfico. Você verá o gráfico se aproximando cada vez mais dessa linha.
Pontos
Para saber exatamente como ficará nosso gráfico, vamos representar graficamente alguns pontos em cada lado da assíntota vertical, bem como mais longe. Para calcular esses pontos, inserimos alguns valores de x e, em seguida, apenas os avaliamos para encontrar nosso y . Vamos escrever em forma de tabela para que, quando terminarmos, possamos facilmente traçá-los no gráfico.
Os valores de x que vou usar são -10, -5, -3, -2, -1,5, -0,5, 0, 1, 5 e 10. Para encontrar nosso y quando x é -10, eu plugo meu -10 em minha fração e obter y = -10 / (-10 + 1). Avaliando isso, obtenho y = -10 / -9 = 1,11. Portanto, nosso primeiro ponto é (-10, 1,11). Eu continuo este processo para o resto dos meus pontos até que minha mesa esteja cheia.
| x | y |
|---|---|
| -10 | 1,11 |
| -5 | 1,25 |
| -3 | 1,5 |
| -2 | 2 |
| -1,5 | 3 |
| -0,5 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 0,5 |
| 5 | 0,83 |
| 10 | 0.9 |
Traçando isso no gráfico, começo a ver as curvas do meu gráfico.
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O gráfico
A última etapa é conectar os pontos. Tenho que ter em mente as assíntotas, no entanto. Vejo que o gráfico se curva para cima conforme se aproxima da assíntota vertical pela esquerda e se curva para baixo conforme se aproxima da assíntota vertical pela direita. Eu sei que o gráfico não pode tocar ou cruzar essa assíntota vertical, essa linha «atormentada», então isso significa que tenho que desenhar meu gráfico curvando-se para cima e para baixo, mas nunca tocando essa linha.
Para minha assíntota horizontal, sei que meu gráfico fica cada vez mais perto dessa linha «doce como o mel» à medida que avança, então vou desenhar a linha muito perto da assíntota horizontal, mas também não a tocarei. Levando tudo isso em consideração, desenho meu gráfico e vejo que ele consiste em duas curvas.
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Peguei minhas assíntotas, meus pontos e agora meu gráfico. Então, estou feito!
Resumo da lição
O que aprendemos? Aprendemos que uma função racional é a fração de duas funções polinomiais e que um polinômio linear é um polinômio cujo grau mais alto é 1. Aprendemos que um atalho para identificar funções racionais com polinômios lineares é apenas procurar um x sem expoente em o numerador e o denominador da função. A função pode ter apenas um x na parte superior e um x na parte inferior.
Para representar graficamente essas funções, procuramos a assíntota vertical , o valor x que torna a função inválida, definindo o denominador igual a 0 e resolvendo. Também procuramos a assíntota horizontal , o valor de y que o gráfico alcança conforme o valor de x fica muito grande e muito pequeno. Para encontrar a assíntota horizontal, simplificamos nossa função para apenas os coeficientes de nossa variável x . Representamos graficamente as duas assíntotas usando linhas tracejadas. Em seguida, plotamos alguns pontos próximos à assíntota vertical em ambos os lados e alguns mais distantes. Conectamos os pontos, lembrando que o gráfico não pode tocar ou cruzar a assíntota vertical, mas alcança a assíntota horizontal.
Resultados de Aprendizagem
O estudo dos detalhes desta lição pode prepará-lo para:
- Determine se uma equação é uma função racional com um polinômio linear
- Fornece a definição de uma assíntota horizontal
- Calcule as assíntotas verticais e horizontais de uma função racional
- Plotar pontos no gráfico