Ride the Waves
Digamos que vamos surfar. Na verdade, não, digamos que você vá surfar. Eu não vou ser isca de tubarão. Mas você? Você tem menos medo do oceano do que eu.
Então, você está sentado lá na sua prancha, esperando a onda perfeita surfar. Você percebe que as ondas se movem em padrões regulares. Existem altos e baixos que são notavelmente consistentes. Este movimento de onda é o que vamos explorar aqui.
A propósito, vejo a mesma coisa da segurança da costa. E por mais que eu ame matemática, não estou arriscando a morte por tubarão por isso. Bom para você, no entanto.
A Onda Seno e Coseno
Quando você está sentado lá, essas ondas regulares e constantes são como uma onda seno ou cosseno. A onda senoidal é o gráfico de y = sin x . Se parece com isso:
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Ele começa em (0,0) e se move para cima e para baixo com base nos valores de seno. O seno de pi / 2 é 1, então nosso gráfico atinge 1 aí. O seno de pi é 0, então ele está de volta a 0 aqui. Em 3pi / 2, é -1 e então volta a 0 por 2pi, que é um círculo completo. 2pi é apenas 360 graus em radianos. Essa onda única para cima e para baixo é chamada de período. Como as ondas do oceano, ele continua. Mas chamamos uma revolução completa de período.
Depois, há a onda cosseno. Se você já surfou e sabe que não, sabe que as ondas são diferentes em dias diferentes. A trigonometria não é diferente. Aqui está o gráfico de y = cos x , ou onda cosseno:
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Quando x é 0, o cosseno é 1, então ao invés de começar em (0,0) como a onda senoidal, a onda cosseno começa em (1,0). Em seguida, ele desce até atingir pi, onde o cosseno é -1, antes de voltar a subir para 1 em 2pi.
Novamente, o período é de 2pi. Também existe a amplitude. Esta é a maior distância que a onda percorre de 0. Isso será 1 para as ondas seno e cosseno. Observe que a amplitude é apenas a distância de 0, não a distância vertical total. É como a altura de uma onda no horizonte, em oposição ao mergulho que ela faz.
Transformações de amplitude
Então, isso é y = sin x e y = cos x . Mas, e se nossa equação for um pouco mais complicada? E se estivermos em uma prancha de surf – desculpe, e se você estiver em uma prancha de surf – e o mar estiver bravo naquele dia? Ondas maiores, certo?
Podemos transformar nosso gráfico usando esta equação: y = A sin ( Bx + C ). Isso é realmente apenas sinos e assobios. y = sin x é o mesmo que esta equação, mas nesta equação, A e B são 1 e C é 0. Mas e se eles não forem?
Vamos começar alterando A . O que acontece com y = 2sin x ? Basicamente, nossos valores de y vão duas vezes mais longe do que com y = sin x . Portanto, o A impacta a amplitude. A para amplitude! Arrumado. Portanto, em vez de 1, como com y = sin x , a amplitude de y = 2sin x é 2.
Transformações de período
Ok, ainda não vi nenhum tubarão, apenas ondas normais e … Espere! O que é isso? Oh, apenas um pouco de madeira flutuante. Sim, me divirto muito na praia.
Enfim, vamos próxima manipular B . Vamos tentar y = sin 2 x . O que acontece com nosso gráfico? Bem, ainda começamos em (0,0). Mas agora vamos subir e descer em um período mais curto. Esse gráfico se parece com este:
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Por quê? Se inserirmos valores para x , veremos que, em vez de atingir 1 em pi / 2, atingimos pi / 4. Então, nosso período não é 2pi, é pi.
Isso significa que o nosso B valor afeta o período do gráfico e essa relação é 2pi / B . Qualquer que seja o nosso B , basta conectá-lo a 2pi / B e você terá seu novo período. Portanto, nosso gráfico de y = sin 2 x mostra um oceano muito mais agitado, com ondas mais rápidas. É quando é mais difícil ver tubarões. Aliás, a areia da praia, da boa e velha terra firme, hoje está bonita e tranquila.
Como lembramos que B muda o período? Hmmm, B para ponto final, se você murmurar ‘beriod?’ Usamos a onda senoidal nesses exemplos, mas os fatos não são diferentes com a onda cosseno.
Transformações de deslocamento de fase
Finalmente, o que dizer de C ? Lembre-se, C era 0 em y = sin x . E quanto a y = sin ( x + pi)? Isso vai empurrar nosso gráfico para frente ou para trás ao longo do eixo x . Isso é chamado de mudança de fase. O deslocamento de fase pode ser definida como – C / B . Nesta equação, – C / B é -pi / 1, ou apenas -pi.
Agora, a mudança de fase é um pouco mais difícil de lembrar, mas você sempre pode traçar alguns pontos para descobrir. Em nosso exemplo abaixo, o que acontece quando x é 0? Ainda temos aquele pi lá, então é o seno de pi. Onde está isso no gráfico? Onde está a seta do meio. Então, nossa onda está cruzando o eixo x em 0.
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Mas viu como mudou? A nossa onda deslocado para trás a distância de – C / B . Então, nós apoiamos nossas ondas. Você não costuma ver as ondas indo para trás, não é? Se você fizer isso, provavelmente está navegando da maneira errada.
Exemplo de problema # 1
Aposto que você sabe o que vem a seguir. Vamos ver o que acontece quando juntarmos tudo. Qual é o gráfico de y = (1/2) sin (4 x – pi)?
Vamos usar o que sabemos. Nosso A é 1/2. A é amplitude. Portanto, nossa amplitude é 1/2. Isso significa que o pico do gráfico será 1/2.
Nosso B é 4. Isso está mudando nosso período. Um período normal é 2pi, então nosso período aqui é 2pi / 4, ou pi / 2.
Finalmente, nosso C é -pi. E a nossa mudança de fase é – C / B . Aqui, será – (- pi) / 4 ou + pi / 4. Então, desta vez, nossa onda muda para a direita em pi / 4.
Junte tudo isso e você terá o seguinte:
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Nossa amplitude é 1/2? Verifica! É o período pi / 2? Verifique novamente! E nossa mudança de fase é + pi / 4? Verifica!
Exemplo de problema # 2
Vamos tentar mais um. E quanto a y = 2cos (8 x + pi / 3)?
Novamente, vamos usar o que sabemos. Nosso A é 2. A para amplitude. Portanto, a amplitude é 2. Essa será uma onda mais alta com pico em 2.
Nosso B é 8. Esse é o nosso período. B para ‘beriodo’, certo? Novamente, um período normal é 2pi, então nosso período aqui é 2pi / 8, ou pi / 4. Portanto, completamos um período inteiro em apenas pi / 4. Até agora, temos uma onda alta e rápida. Estou feliz por estar em terra por causa deste.
Finalmente, nosso C é pi / 3. Nós determinar a mudança de fase com – C / B . Aqui, será – (pi / 3) / 8 ou -pi / 24. Então, desta vez, nossa onda muda para a esquerda em pi / 24.
Se olharmos para este em um gráfico, você terá o seguinte:
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Nossa amplitude é 2? Verifica! É o período pi / 4? Verificado! E nossa mudança de fase é -pi / 24? Bem, é um pouco difícil de ver aqui, mas é. Então, nós conseguimos!
Resumo da lição
Em resumo, começamos por olhar para os gráficos de y = sin x e y = cos x . Estas são as ondas seno e cosseno. Em seguida, expandimos nossa equação para y = A sen ( Bx + C ), que envolve transformações da onda senoidal. Com essas transformações, A impacta diretamente a amplitude. Isso é o quanto o gráfico vai acima do eixo x .
B afeta o período. O período normal é 2pi. Dividimos 2pi por B para obter nosso novo período. Então há C . Isso causa uma mudança de fase. Usamos – C / B para determinar nossa mudança de fase. Se – C / B for negativo, então mudamos para a esquerda. Se for positivo, então mudamos para a direita. Finalmente, se você for surfar, fique de olho nessas ondas. E cuidado com os tubarões!
Resultados de Aprendizagem
Depois de concluir esta lição, você será capaz de:
- Identifique as ondas seno e cosseno
- Explique as transformações de amplitude, período e mudança de fase