Localização em função do tempo
Muitas vezes tenho o sonho de estar de volta ao colégio e acabei de aprender a dirigir. Meu pai está lá e não confia exatamente em mim no carro, então coloca um rastreador GPS no meu carro. Ele iria se sentar em seu computador e assistir exatamente onde eu estava em qualquer ponto do tempo. Digamos que este rastreador GPS medisse a distância que eu estava, em qualquer ponto no tempo, de casa. Por exemplo, um dia ele está sentado em seu computador e vê este gráfico de minha localização como uma função do tempo. Aqui ele vê que saí de casa, peguei um engarrafamento, fui ao shopping e, eventualmente, voltei para casa – um pouco tarde, com certeza ele me lembraria.
Os derivados de uma função
![]() |
Além da minha localização em função do tempo, ele também estava interessado em quão rápido eu estava indo – minha velocidade . Assim, ele pode usar o fato de que minha velocidade é a derivada de minha posição em função do tempo para determinar, aproximadamente, a que velocidade eu estava indo em qualquer ponto do tempo. Então, dx / dt .
Bem aqui, acabei de sair de casa e, para fazer com que pareça bem, saio da garagem muito, muito lentamente. Minha derivada, que é a inclinação da tangente, é muito pequeno. É positivo porque estou saindo de casa, mas é pequeno. Quando saio de casa, acelero. Minha posição muda muito mais rápido em função do tempo. Isso é verdade até chegar a este engarrafamento, o que me retarda novamente. Então, aqui em cima, minha derivada é menor. Quando chego ao shopping, paro o carro. Quando estaciono o carro, sua posição não muda em função do tempo. Então aqui, minha derivada é achatada. Parece que é zero. Quando termino as compras, começo a ir para casa. Agora aqui a inclinação da tangente é negativa, porque estou voltando para casa. Neste dia em particular, esqueci algo no shopping, então tive que me virar e voltar ao shopping. Naquela época eu estava muito atrasado, então voltei para casa. Minha derivada é muito íngreme aqui; a inclinação desta linha é muito acentuada. EU’ estou dirigindo muito rápido porque estou muito atrasado. Portanto, a derivada aqui é um número negativo muito grande.
Digamos que meu pai queira saber exatamente a que velocidade estou indo, e digamos que ele amplie bem perto de uma parte do mapa. Para descobrir exatamente a que velocidade eu estava indo, ele desenhou uma tangente nesta linha e encontrou a inclinação dessa tangente. Nesse caso, minha inclinação é dx / dt ou a mudança em x dividida pela mudança no tempo. Agora, quando x foi de 348 para 349, a mudança é 1. Nesse caso, é 1 pé. A mudança no tempo foi de 1 segundo, passando de t = 1 para t = 2. Então, neste momento, eu estava viajando a uma velocidade colossal de 1 pé por segundo, o que é 60 pés por minuto, o que não é tão rápido.
Derivado de um único destino
Então, vamos nos livrar de todos os números aqui e apenas olhar um exemplo de minha posição em função do tempo. E vamos ver o que meu pai pode deduzir deste único gráfico. Este gráfico é muito simples. Saio de casa, chego ao shopping, me viro e volto para casa. Portanto, vamos nos concentrar nesta área em que estou saindo de casa. Estou indo embora de casa Como estou saindo de casa, sei que minha derivada vai ser positiva. Vai ser maior que zero durante todo esse tempo em que estou saindo de casa. Então é aqui que x está aumentando à medida que taumenta, mas vamos ser um pouco mais específicos. Digamos que naquele primeiro minuto, eu saísse muito rapidamente. Percorri um longo caminho em apenas um minuto. Nesse caso, a inclinação da tangente é muito grande e positiva. Assim que me afasto de casa, desacelero um pouco. Não estou me movendo – não estou indo tão longe – em função do tempo. Em um minuto, talvez eu percorra metade da distância que percorri antes. Aqui, a inclinação da tangente não é tão íngreme como era quando saí de casa; Não estou me movendo tão rápido. Quando me afasto ainda mais de casa, desacelero ainda mais. Então, aqui em um minuto, mal estou me movendo. Minha derivada ainda é positiva, mas está bem próxima de zero porque x não está mudando muito em função do tempo.
Então, voltando para casa, é como a mesma coisa ao contrário, como se estivesse dirigindo para trás. Agora, minha derivada vai ser negativa. O quão rápido estou indo determinará quão negativo é. O valor é pequeno mas negativo ou grande mas negativo? Se for pequeno, mas negativo, vou retroceder lentamente. E se for grande e negativo, vou retroceder muito rapidamente. Quando saio do shopping, minha posição não está mudando muito em função do tempo. Minha derivada é negativa, mas está perto de zero. À medida que me aproximo de casa, acelero um pouco. Portanto, minha derivada ainda é negativa, apenas um pouco maior. É mais longe do x-eixo. À medida que me aproximo de casa, percebo que estou muito atrasado e acelerei muito. E então a magnitude da minha velocidade é muito grande, mas ainda é negativa porque ainda estou dirigindo para trás para chegar em casa.
Vamos colocar tudo isso junto e vamos tomar nossa posição como uma função do tempo e usá-la para representar graficamente nossa velocidade, nosso x`, em função do tempo. Então, quando saímos de casa, começamos com uma velocidade muito rápida e positiva porque íamos para o shopping em frente. Quando chegamos ao shopping, diminuímos a velocidade. Nossa derivada diminuiu. Quando chegamos ao shopping, paramos por um segundo. Nossa derivada, bem aqui, é na verdade igual a zero. A inclinação da tangente aqui é zero. Então começamos a voltar do shopping; começamos a dirigir para trás. No início, estávamos dirigindo devagar. Nossa inclinação era muito rasa, então nossa derivada era negativa, mas próxima de zero. Então começamos a acelerar, ficando cada vez mais negativos. Quando chegamos em casa, estávamos indo muito rápido, mas ainda estávamos indo para trás. Portanto, nossa derivada está aqui. Podemos conectar todos esses pontos e chegar a uma aproximação para x`. E se parece com essa linha reta que vai até zero quando paramos no shopping.
![]() |
Regras de Derivação
Vamos tomar um segundo para tornar isso um pouco mais formal. Vejamos x em função do tempo . Quando nossa função x está ficando maior, estamos saindo de casa. Temos uma derivada positiva. A derivada x `será maior que zero. Se a função está ficando menor (estamos voltando aqui), temos uma derivada negativa. Se nossa função não mudar, a derivada será zero. É como aquele instante em que estávamos no shopping.
Derivados descontínuos
Tive alguns problemas para minha última façanha. Meu pai não me deixou sair de casa por um tempo, mas quando o fez, fui novamente ao shopping. E ele traçou minha posição em função do tempo, e ficou assim. Agora, quando saí de casa, mantive uma velocidade bastante constante. Então, ao longo desse tempo, a inclinação da tangente, em todos os lugares ao longo aqui, foi a mesma porque esta é uma linha reta. Cheguei ao shopping e fiquei um tempo lá, depois voltei para casa. E, novamente, eu tinha uma linha reta entre o shopping e minha casa.
Como é a minha velocidade em função do tempo? Bem, no meu caminho para o shopping, minha velocidade era constante, logo x `era constante, e era positivo porque eu estava me afastando de casa. Quando cheguei ao shopping, estacionei o carro e ele não estava se movendo. Portanto, durante todo o tempo que estive no shopping, a velocidade do carro foi zero. Quando voltei para casa, dirigindo para trás, minha velocidade era negativa, mas ainda constante, porque novamente eu tenho uma linha reta. Agora, o que acontece nessas interseções aqui? Bem quando estacionei e bem quando saí do shopping? Bem, no lado esquerdo desses pontos, quando estou olhando para x como uma função de t, Eu tenho uma velocidade, uma tangente aqui, que é positiva. Bem no lado direito desse ponto, eu tenho uma tangente que é igual a zero. Portanto, a tangente nesse ponto realmente depende de qual lado você está olhando – o lado esquerdo ou o lado direito. Como esses dois valores são diferentes, não há tangente naquele ponto em particular. Não há derivada. A derivada é descontínua. Então, no meu gráfico da derivada em função do tempo, vou abrir um buraco. A mesma coisa acontece quando estou saindo do shopping. No lado esquerdo, tenho velocidade zero; meu carro não está se movendo. No lado direito, estou acelerando para casa, então minha derivada é negativa. Mas exatamente nesse ponto, não há tangente; a derivada é descontínua.
![]() |
Mais um ponto com este gráfico. No caminho para o shopping, eu estava dirigindo de maneira relativamente razoável. Eu não estava dirigindo muito rápido; Eu não estava dirigindo muito devagar. A inclinação aqui pode ser algo como 1. No caminho do shopping para casa, a inclinação é muito mais íngreme e negativa. Vou refletir isso na derivada como uma função do gráfico t , escrevendo minha velocidade no caminho para o shopping como estando mais perto desse eixo t do que quando eu estava saindo do shopping. Como minha velocidade era muito mais rápida, ele estava mais longe do eixo.
Aplicativos para outras funções
Você pode usar esses princípios para outras funções, como y = f (x) . Vamos considerar minhas regras e tentar escrever y `como uma função de x . Então, primeiro, eu vou nota onde a função é crescente – onde eu vou ter uma derivada positiva – e eu vou sombra dessas regiões no on y `. Então, vou observar onde a função está diminuindo – onde minha derivada vai ser negativa – e vou sombrear isso em meu gráfico y `. Esses dois pontos onde a função é constante apenas por um instante, vou marcar no meu gráfico y`, como pontos vermelhos. Portanto, nesses casos, tenho uma derivada zero. Finalmente, farei uma observação especial sobre esta última parte aqui, onde minha função está diminuindo, mas está diminuindo em linha reta. Então, eu sei que minha derivada será constante, mas negativa.
Então, como você se parece nessas regiões? Bem, vamos olhar para esta primeira região do lado esquerdo. Aqui, minha inclinação começa bastante íngreme e, conforme me movo em direção a esse ponto vermelho, a inclinação realmente diminui; fica mais perto de zero. Vou imitar isso no meu gráfico y , onde minha derivada começa muito grande, fica menor e se aproxima de zero. Nessa região do meio, a função está diminuindo o tempo todo, mas começa diminuindo a uma taxa muito rasa; a inclinação aqui é muito rasa. Em seguida, torna-se íngreme e, na verdade, torna-se mais raso novamente. Vou tentar colocar isso no meu gráfico. Começa perto de zero, muito raso, fica grande e depois fica raso de novo, mas tudo negativo.
![]() |
Tudo bem, então eu tenho minha derivada zero onde minha função é constante. Então eu tenho essa região onde a função está aumentando. Portanto, no lado esquerdo, a inclinação é muito rasa; está muito próximo de zero. Em seguida, aumenta e, quando chego a este ponto, a inclinação é bastante íngreme. Vamos colocar isso em nosso gráfico y . Agora, neste ponto aqui, a derivada no lado esquerdo do ponto e no lado direito do ponto não são iguais. Neste ponto, a função é descontínua, mas também a derivada, y`. Vou colocar um círculo no meu gráfico. Agora minha função é uma linha reta para esta parte do gráfico, e está diminuindo. Portanto, a derivada é negativa. Eu sei que minha derivada vai ser negativa, mas terá um valor constante. Vamos colocar aqui. Pode não ser exatamente correto, mas transmite a ideia. E vamos nos certificar de colocar o círculo, o círculo aberto, do lado esquerdo porque eu sei que não há nenhuma derivada neste ponto onde tive minha descontinuidade.
Resumo da lição
Vamos revisar. Você pode encontrar d / dt de x , a partir de qualquer x . Isso é especialmente verdadeiro se você tiver apenas o gráfico e não a função em si. Se você tiver o gráfico, pode não conseguir obter os números corretos, mas pelo menos pode ter uma ideia do que está acontecendo. Para fazer isso, você deve ter em mente três coisas: 1.) Se a função está aumentando, a derivada vai ser positiva. É como quando eu estava dirigindo para o shopping. 2.) Se a função estiver diminuindo, a derivada vai ser negativa. Como quando eu estava voltando do shopping para casa. 3.) Se a função for constante, a derivada será zero. Quando meu carro estava estacionado, eu não estava me movendo; minha velocidade era zero.
As outras duas coisas que você pode querer manter em mente são que as linhas retas fornecem derivadas constantes. Quando você está indo a 60 milhas por hora por exatamente 10 minutos, sua derivada será 60 por esses 10 minutos. Finalmente, a derivada nem sempre é contínua. Se a inclinação do lado esquerdo do ponto e a inclinação do lado direito do ponto não forem iguais, então sua derivada não existe.