Definição básica da função de raiz quadrada
Uma função de raiz quadrada é uma função que possui o radical (sinal de raiz quadrada) e a quantidade independente x é o radicando (valor sob o sinal de raiz quadrada). A função de raiz quadrada em sua forma básica tem a seguinte equação:
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No entanto, para realmente entender o comportamento de uma função de raiz quadrada, vamos examinar a função linear básica:
f (x) = x
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Com base na equação, cada valor y (a quantidade dependente) será exatamente igual à quantidade independente, o valor x . Em outras palavras, o que você escolher para x produzirá o mesmo valor para y .
Agora, se mudássemos a equação calculando a raiz quadrada do lado direito, a função se tornaria a função básica de raiz quadrada. Você pode perguntar, no entanto, o que é tirar a raiz quadrada? Quando elevamos ao quadrado um número, na verdade apenas o multiplicamos por ele mesmo.
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A raiz quadrada é a operação inversa de elevar um número ao quadrado. Em outras palavras, estamos tentando encontrar um fator que foi multiplicado por si mesmo para resultar em seu valor original.
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Vejamos a função raiz quadrada agora que conhecemos todos os fundamentos!
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Como esperávamos, a mudança na equação resultou na mudança dos valores da tabela e do comportamento do gráfico. O que devemos notar primeiro é a mensagem indefinida na tabela de valores. Dependendo da calculadora que você está usando para representar graficamente, você pode ver um erro . O valor indefinido vem da operação de enraizar quadrado um número negativo. Não existe um número negativo que pode ser multiplicado por ele mesmo e resultar em um número negativo! Apenas um número positivo pode resultar de dois negativos. Aqui estão alguns exemplos dessa operação:
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É por isso que na tabela de valores, vemos apenas a raiz quadrada de valores x positivos que resultam em valores y positivos . Quando olhamos para o gráfico novamente, vemos aquele ponto inicial distinto, onde é possível obter a raiz quadrada de um número, neste caso zero.
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Domínio e intervalo da função de raiz quadrada
Domínio é o conjunto de todos os valores independentes de x para os quais a função f (x) existe ou está definida.
Intervalo é o conjunto de todos os valores dependentes de y que resultarão da substituição de todos os valores x (domínio) na função.
Em uma função de raiz quadrada, tanto o domínio quanto o intervalo são restritos com base no conceito de que só podemos fazer a raiz quadrada de números positivos.
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Vejamos um exemplo diferente de domínio e intervalo usando a função de raiz quadrada.
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O gráfico foi alterado e os valores também. Observe como, zero não é mais um valor x válido para esta função.
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Tanto o domínio quanto o intervalo serão afetados pelas alterações aplicadas à função raiz quadrada básica. Como você pode ver na tabela e no gráfico, o menor valor de x é 2 e o menor valor de y é 3.
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Representação gráfica de transformações básicas da função de raiz quadrada
Tradução Horizontal
A tradução horizontal é uma mudança do gráfico e de todos os seus valores para a esquerda ou direita. A mudança ocorrerá se adicionarmos ou subtrairmos um número de x sob o sinal do radical.
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Og (x) mudou 2 unidades para a direita, não para a esquerda! Em vez de pontos (0, 0), (1, 1) e (2, 1,41) no gráfico f (x), temos (2, 0), (3, 1) e (4, 1,41) no gráfico gráfico g (x). Observe como todos os valores de x foram aumentados em 2, enquanto o y permaneceu o mesmo. Então, essencialmente, se o número for subtraído de x na equação, o gráfico e todos os valores de x , mova para a direita.
Vamos ver em outro exemplo:
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O que você pode prever sobre o comportamento dessa função de raiz quadrada? Você acha que h (x) irá traduzir 4 unidades para a esquerda ou direita?
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Se você disse que o gráfico de h (x) irá deslocar 4 unidades para a esquerda, você estava correto! Isso ocorre porque o número negativo adicionado ax na equação fez com que o gráfico e todos os valores de x se deslocassem para a esquerda.
Tradução Vertical
A translação vertical está deslocando um gráfico para cima ou para baixo no plano das coordenadas. A translação vertical ocorre quando adicionamos ou subtraímos um número fora da função, no nosso caso, fora do sinal da raiz quadrada.
Vejamos a seguinte mudança na equação.
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Adicionamos 4, assim como no exemplo g (x), mas há uma grande diferença de onde executamos essa adição. Não está mais sob o signo da raiz quadrada, está fora. Neste caso, os valores de y serão afetados por esta transformação. Se estiver usando uma calculadora para calcular a translação vertical de ‘x’, determine a raiz quadrada e some o número 4. Por exemplo, a raiz quadrada de 1 é 1 e 1 + 4 = 5.
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Adicionar ou subtrair um número fora do sinal da raiz quadrada irá traduzir o gráfico verticalmente, mover todos os valores de y de acordo com a operação algébrica indicada por seu valor. Se adicionarmos 4, o gráfico se desloca para cima, se subtrairmos 4 da equação, o gráfico vai traduzir 4 unidades para baixo. Lógico, certo ?!
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Se o gráfico for traduzido verticalmente, o intervalo mudará com essa mudança. O domínio, todos os valores de x , permanecerão iguais aos da função raiz quadrada básica.
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Reflexões da função de raiz quadrada
Existem dois tipos principais de reflexos quando se trata de gráficos, e eles são verticais e horizontais.
A reflexão vertical é um reflexo do gráfico sobre o eixo x . Obtemos a reflexão vertical multiplicando a função por -1.
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Como você pode ver, os valores de y se tornaram negativos porque multiplicamos a função por -1. Observe que os valores de x não são afetados, eles são os mesmos em j (x) e em f (x). Portanto, o domínio é de zero a infinito, enquanto a faixa é de infinito negativo a zero.
A reflexão horizontal é uma reflexão através do eixo y . Obtemos a reflexão horizontal multiplicando o valor x por -1.
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Como multiplicamos a entrada da função por -1, todos os valores de x se tornaram negativos, enquanto o y permaneceu o mesmo. Portanto, o domínio vai de infinito negativo a zero e o intervalo é de zero a infinito.
Resumo da lição
1. A função básica de raiz quadrada obtém a raiz quadrada de quantidade independente.
2. O domínio e o intervalo de uma função básica de raiz quadrada são restritos, porque a raiz quadrada de um número negativo não existe. Tanto o domínio quanto o alcance da função básica vão de zero a infinito.
3. A tradução horizontal ocorre quando adicionamos ou subtraímos um número sob o sinal da raiz quadrada. A operação desloca o gráfico horizontalmente para a direção oposta do sinal do número.
4. A tradução vertical ocorre quando adicionamos ou subtraímos um número fora do sinal da raiz quadrada. A operação desloca o gráfico verticalmente de acordo com o sinal do número.
5. A reflexão horizontal reflete o gráfico no eixo y e ocorre quando multiplicamos x sob o sinal da raiz quadrada por -1.
6. A reflexão vertical reflete o gráfico no eixo x e ocorre quando multiplicamos a função fora do sinal da raiz quadrada por -1.
7. Domínio e intervalo são afetados pelas transformações.