Repetição e finalização de decimais
Decidi comprar alguns ladrilhos para a minha sala de matemática. É ótimo se inspirar em números. Aí está! Um padrão de blocos com números repetidos.
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Esses números são um lembrete de decimais repetidos, que têm uma série de números repetidos para sempre, como .123123 · · ·. Já agora, 41/333 = .123123 · · ·. Outros decimais são decimais finais e não têm uma parte repetida como .12. A propósito, 3/25 = 0,12.
Sempre podemos escrever decimais repetidos e finais como a proporção de dois números naturais. Você vê ‘proporção’ e pensa num número racional . No entanto, também existe outro tipo de decimal que dura para sempre, mas não tem uma parte repetida. Eles são chamados de números irracionais e não podem ser escritos como uma proporção de dois números. Exemplos de números irracionais são π = 3,14159265 · · · e a raiz quadrada de 2. Nesta lição, estamos explorando apenas os decimais que vêm de números racionais. Isso pode me ajudar a racionalizar a seleção dos ladrilhos.
The Repetend
A série repetitiva de números em um decimal repetido é chamada de repetição . É uma boa palavra contraída a partir de ‘repetição no final’. Vamos começar identificando repetições. Você vê a repetição em 0,333…? Claro, a repetição é 3. Que tal a repetição de 0,1717 … Se você disse 17, então está correto. Pronto para mais um pouco? Qual é a repetição de 0,250? Podemos pensar que a repetição de 0,250 é 0 porque ter um 0 no final significa que sempre podemos adicionar outro zero e o número não mudará. Este é um caso especial: se a parte repetida for zero, dizemos que o número decimal é um decimal final . Se o repetido for qualquer coisa diferente de 0, dizemos que o número decimal é um decimal repetido. Que tal uma pergunta? Quais dos seguintes números decimais estão se repetindo e quais estão terminando: 0,25, 0,3, 0,1212… e 0,123123…? Resposta: os dois primeiros são decimais finais. O 0,1212… e o 0,123123… são decimais repetidos.
Não existe uma notação universalmente aceita para um decimal repetido. Às vezes, usaremos três pontos como em 0.3 … Às vezes, os três pontos serão centralizados como 0.3 · · · e às vezes uma barra será escrita acima da repetição, como 0. 3̅.
Divisão longa e fatores
Vamos lidar apenas com os números naturais : os inteiros positivos maiores que zero, como 1, 2, 3, · · ·. Se dividirmos um desses números naturais por um número natural maior, sempre obteremos uma fração menor que um. Por exemplo, 1/4 é menor que um e, portanto, 2500/9999.
O número decimal para essas frações será um decimal final ou um decimal repetido. Se dividirmos 1 por 4, obtemos 0,25 seguido por tantos zeros quantos desejarmos. Este é um número decimal final. Se dividirmos 2500 por 9999, teremos 0,25002500 · · ·. Este é um número decimal repetido em que o repetido é 2500.
Denominadores de fatoração
O denominador da fração contém algumas informações úteis. Voltando a 1/4, vamos fatorar o 4. Temos 2 (2). Voltando a 2500/9999, vamos fatorar o 9999. Temos 3 (3) (11) (101). Se os fatores do denominador forem apenas 2 e / ou 5, o número decimal terminará. Se algum dos fatores for diferente de 2 ou 5, o número decimal se repetirá. Surpreendente! Isso me ajudará na seleção de ladrilhos? Bem, eu espero que sim.
Vamos verificar isso mais adiante. E se considerarmos 3/20 e fizermos uma previsão. A fatoração de 20 é 2 (2) (5). Ok, nenhum fator diferente de 2 e / ou 5. Um decimal final resultará. Fazemos a divisão e 3/20 e obtemos 0,15 que termina. Ótimo! Que tal 21/04? Fatorar 21 nos dá 3 (7). Previsão: 4/21 é um decimal repetido. Fazendo a divisão longa, obtemos 0,190476190476… O repetido é 190476. Maravilhoso! Fatorar o denominador é muito útil.
Fatores de 2 e 5
Aqui estão mais alguns fatos divertidos. Digamos que os fatores do denominador sejam 2 e ou 5. Podemos escrever isso como um produto 2 ^ m 5 ^ n . Por exemplo, quando fatoramos 20, obtemos 2 (2) (5). Isso pode ser escrito como 2 ^ 2 5 ^ 1. O m é 2 en é 1. Você sabia que o número de dígitos após a vírgula decimal do decimal final será o maior de m ou n ? O maior de m ou n neste caso é 2. Nosso decimal final é 0,15, que tem 2 dígitos após o ponto decimal.
Isso sempre funciona? Para verificar, vamos criar um decimal final com 4 dígitos após o ponto decimal. Que tal um denominador da forma 2 ^ 3 5 ^ 4? Isto equivale a 5000. Nossa m é 3 eo n é 4. Será que alguma relação como 231/5000 termina com 4 dígitos? Fazemos a divisão longa e obtemos 0,0462, que tem 4 dígitos após a vírgula decimal. Sim, funciona! (Observe a escolha de 231 sendo um número sem fatores em comum com 5000.)
Combinação de fatores
E se os fatores do denominador forem números diferentes de 2 e / ou 5? Sabemos que o resultado é um decimal repetido. Mas e se também houver alguns fatores de 2 ou 5 no denominador? O resultado é um decimal de repetição atrasado : um decimal que não começa a se repetir imediatamente. Vamos dar um exemplo. E se tivéssemos 48 como denominador? A fração pode ser 37/48. Vamos ver, fatorar 48 nos dá 2 (2) (2) (2) (3) que é 2 ^ 4 vezes 3 ^ 1. Nosso m é 4 e nosso n é 1. Previsão: o decimal resultante será um decimal repetido atrasado por 4 números. Mesmo? Fazemos a divisão longa e obtemos 0,77083̅. Uau!
Agora estou realmente empolgado para obter alguns ladrilhos numéricos. Talvez eu consiga um acordo com pagamentos repetidos baixos.
Resumo da lição
Os números racionais podem ser expressos como a proporção de dois números naturais. Se essa proporção for expandida usando divisão longa, obteremos um decimal final ou um decimal repetido . A série repetitiva de números em um decimal repetido é chamada de repetição . Um decimal de repetição atrasado é um decimal que não começa a se repetir imediatamente. Fatorar o denominador de um número racional geralmente fornece insights sobre o número decimal resultante.