O que é equivalência?
Suponha que alguém dissesse que framboesas são equivalentes a morangos. No início, você pode ficar confuso. Como eles são equivalentes? Os mirtilos também são equivalentes aos morangos?
Você não sabe! Mas, se alguém explicasse que duas frutas são equivalentes se forem da mesma cor, você entenderia imediatamente por que as framboesas são equivalentes aos morangos e que os mirtilos não são equivalentes aos morangos. Esta é uma forma aceitável de definir equivalência?
Vejamos outro exemplo. E se alguém dissesse que duas palavras, cada uma com mais de três letras, são equivalentes se as três primeiras letras são exatamente iguais? Por exemplo, robótica seria equivalente a roubo e congresso seria equivalente a constante. Esta é uma forma aceitável de definir equivalência?
Para nosso exemplo final, o que aconteceria se alguém dissesse que dois números naturais são equivalentes se eles compartilham um fator comum maior que um? Por exemplo, 6 é equivalente a 8 e 3 é equivalente a 18. Essa é uma maneira aceitável de definir equivalência?
De acordo com a forma matemática de definir equivalência, dois dos três exemplos acima são aceitáveis e um não. Você consegue adivinhar qual?
Relação de Equivalência
Primeiro, vamos descrever uma relação. Uma relação é o método pelo qual comparamos dois elementos no mesmo conjunto. Em nosso primeiro exemplo, a relação é ter a mesma cor. Em nosso segundo exemplo, nossa relação é ter as mesmas três primeiras letras.
Para que nossa relação seja uma forma aceitável de definir equivalência, a relação entre os elementos deve satisfazer os três critérios a seguir:
1. Reflexivo : Um elemento, a , é equivalente a si mesmo
2. Simétrico : Se a é equivalente a b , então b é equivalente a a
3. Transitivo : Se a é equivalente ab , eb é equivalente a c , então a é equivalente a c
Qualquer relação que satisfaça essas três condições é chamada de relação de equivalência .
Verificando uma relação de equivalência
Agora que temos uma maneira formal de definir uma relação de equivalência, vamos voltar às nossas três tentativas iniciais de definir a equivalência e ver qual não é uma relação de equivalência.
Exemplo um: framboesas são equivalentes a morangos?
Considere nossa primeira relação, ‘ter a mesma cor’, com o conjunto que estamos considerando sendo o conjunto de todas as bagas. Primeiro, vamos verificar se a relação é reflexiva . Uma baga tem a mesma cor que ela? Sim, isso parece certo. Boa! Essa relação é reflexiva.
A seguir, vamos verificar se a relação é simétrica . Se uma baga tem a mesma cor que outra baga, esta segunda baga tem a mesma cor que a primeira baga? Novamente, isso parece bastante óbvio. Ótimo! A relação é simétrica.
Por fim, verificaremos se a relação é transitiva . Se uma baga tem a mesma cor de uma segunda baga e a segunda baga tem a mesma cor de uma terceira baga, a primeira baga e a terceira baga têm a mesma cor? Novamente, isso parece ser verdade. Boa! Nossa relação é transitiva. Visto que nossa relação é reflexiva, simétrica e transitiva, nossa relação é uma relação de equivalência !
Exemplo dois: palavras com as mesmas três letras
Vamos dar uma olhada na segunda relação, ‘tendo as mesmas três primeiras letras’, com o conjunto que estamos considerando incluindo todas as palavras com três ou mais letras. Primeiro, vamos verificar se a relação é reflexiva . Uma palavra tem as mesmas três primeiras letras que ela mesma? Sim, isso parece bastante óbvio. Fantástico! Essa relação é reflexiva.
A seguir, vamos verificar se a relação é simétrica . Se uma palavra tiver as mesmas três primeiras letras de outra palavra, essa segunda palavra terá as mesmas três primeiras letras da primeira palavra? Novamente, isso é verdade, então a relação é simétrica.
Por fim, verificaremos se a relação é transitiva . Se uma palavra tiver as mesmas três primeiras letras de uma segunda palavra e a segunda palavra tiver as mesmas três primeiras letras de uma terceira palavra, a primeira palavra e a terceira palavras têm as mesmas três primeiras letras? Novamente, isso parece ser verdade. Maravilhoso! Nossa relação é transitiva. Visto que nossa relação é reflexiva, simétrica e transitiva, nossa relação é uma relação de equivalência !
Exemplo três: números naturais
Como eu disse que apenas dois dos três primeiros exemplos eram relações de equivalência, agora sabemos que o último exemplo não é uma relação de equivalência. Mas por que isso? Qual das três condições não foi atendida? Podemos verificar as condições reflexivas e simétricas e ver se ambas se mantêm. No entanto, o culpado é a condição transitiva.
Para mostrar adequadamente que essa relação não é transitiva, precisamos criar um exemplo mostrando isso. Vamos considerar os números 6, 16 e 9. Vemos que 16 e 6 compartilham um fator comum maior que 1, a saber 2. Além disso, 6 e 9 compartilham um fator comum maior que 1, a saber 3. No entanto, 16 e 9 compartilham não compartilham um fator comum maior que 1. Portanto, essa relação não é transitiva. Portanto, não é uma relação de equivalência.
Resumo da lição
Para verificar se uma relação é uma relação de equivalência , ela deve ser reflexiva, simétrica e transitiva. Se qualquer um desses três não for verdadeiro, a relação não é uma relação de equivalência.
Lembre-se de que para ser reflexivo , um elemento, a , é equivalente a si mesmo; é simétrico se a é equivalente ab , então b é equivalente a a ; e é transitivo se a é equivalente ab , eb é equivalente a c , então a é equivalente a c .