Relação Anti-simétrica
Suponha que sua professora de matemática surpreenda a classe dizendo que trouxe biscoitos. A turma tem 24 alunos e a professora diz que, antes de podermos desfrutar dos biscoitos, a turma tem que descobrir quantos biscoitos lá são dados apenas os seguintes fatos:
- O número de cookies é divisível pelo número de alunos na classe.
- O número de alunos na classe é divisível pelo número de cookies.
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Em matemática, os fatos que seu professor acabou de apresentar têm a ver com um conceito matemático chamado relações. Uma relação é um conjunto de pares ordenados, ( a , b ), onde a está relacionado com b por alguma regra.
Considere a relação ‘é divisível por’ sobre os inteiros. Chamá-lo de relação R . Esta relação seria composto de pares ordenados, ( a , b ), de tal forma que um e b são inteiros, e uma é divisível por b . Agora, considere os fatos do professor novamente. Pelo fato de 1, o par ordenado (número de cookies, número de alunos) estaria em R , e pelo fato 2, o par ordenado (número de alunos, número de cookies) também seria em R .
Por enquanto, tudo bem. As relações parecem bastante diretas. Vamos dar um passo adiante. Veja, as relações podem ter certas propriedades e esta lição está interessada em relações que são anti-simétricas. Uma relação anti – simétrica satisfaz a seguinte propriedade:
- Se ( a , b ) estiver em R e ( b , a ) estiver em R , então a = b .
Em outras palavras, em uma relação anti-simétrica, se a está relacionado ab e b está relacionado a a , então deve ser o caso que a = b .
Ok, vamos voltar ao problema dos cookies.
Acontece que a relação ‘é divisível por’ nos inteiros é uma relação antissimétrica. Ou seja, se um e b são inteiros, e uma é divisível por b e b é divisível por um , ele deve ser o caso que a = b .
Isso significa que, como (número de cookies, número de alunos) e (número de alunos, número de cookies) estão ambos em R , deve ser o caso que o número de cookies seja igual ao número de alunos. Como há 24 alunos na classe, deve ser o caso de que haja 24 cookies!
Prova de relações anti-simétricas
Assim como estamos todos salivando para nos prepararmos para os nossos biscoitos, a professora diz que temos que lhe dar uma justificativa de que a relação ‘é divisível por’ é realmente anti-simétrica, de modo que usamos nossa lógica para provar que existem 24 biscoitos.
Para provar uma relação anti-simétrica, assumimos que ( a , b ) e ( b , a ) estão na relação, e então mostramos que a = b . Para provar que nossa relação, R , é anti-simétrica, assumimos que a é divisível por be que b é divisível por a , e mostramos que a = b .
A definição de estados de divisibilidade que, uma vez que um é divisível por b e b é divisível por um , um divide-se em b uniformemente e b divide-se em uma forma uniforme. Pegamos dois inteiros, os chamamos de m e n , tais que b = am e a = bn . Se escrevermos, torna-se:
- b = am = ( bn ) m = b ( nm ).
Dividindo ambos os lados por b resulta 1 = nm . Uma vez que m e n são inteiros, deve ser o caso de n = m = 1, uma vez que o único par de inteiros que se multiplica para nos dar 1 é 1 e 1. Como n = 1, temos
- a = bn = b (1) = b
Portanto, a = b .
Conseguimos! Provamos que a relação ‘é divisível por’ sobre os inteiros é uma relação antissimétrica e, por isso, deve ser o caso que existem 24 cookies.
Outros Exemplos
Outro exemplo de relação antissimétrica seria a relação ≤ ou ≥ nos números reais. Considere a relação ≥. Chamá-lo G . Para ( a , b ) estar em G , a e b devem ser números reais, e a ≥ b . Agora, suponha que ( a , b ) e ( b , a ) estão ambos em G . Então deve ser isso
- um ≥ b e b ≥ um
Huh … bem, certamente não pode ser o caso de a ser maior que b e b ser maior que a . Não pode haver dois números maiores que o outro. Isso deixa apenas a opção de igual em ‘maior ou igual’, então deve ser o caso que a = b .
Bem bem! Mostramos apenas informalmente que G deve ser uma relação antissimétrica, e poderíamos usar um argumento semelhante para mostrar que a relação ≤ também é antissimétrica.
Resumo da lição
Uma relação é um conjunto de pares ordenados, ( a , b ), onde a está relacionado com b por alguma regra. Uma relação anti – simétrica satisfaz a seguinte propriedade:
- Se ( a , b ) estiver em R e ( b , a ) estiver em R , então a = b .
Para provar que uma dada relação é anti-simétrica, simplesmente assumimos que ( a , b ) e ( b , a ) estão na relação, e então mostramos que a = b . Dependendo da relação, essas provas podem ser bastante simples ou muito difíceis, mas o processo é o mesmo.