Reconhecendo funções periódicas trigonométricas
Seno e Cosseno
Funções trigonométricas – especificamente as funções seno e cosseno – são freqüentemente usadas para modelar fenômenos periódicos em uma variedade de disciplinas científicas. Como funções, eles exibem características essenciais necessárias para modelar tais fenômenos, por exemplo, som e movimento. Podemos ver isso graficamente. Eles têm comprimento de onda, amplitude e período. Portanto, podemos ver como o seno (y = senx) e o cosseno (y = cosx) podem ser implementados na modelagem para movimento circular harmônico e uniforme em particular.
Dentro do sistema de coordenadas cartesianas, y = sinx ey = cosx são periódicos porque têm valores de y repetidos em um intervalo de tempo. Em y = sinx ey = cosx, y terá uma frequência e amplitude correspondentes e um período recorrente de 360 graus (ou 2Π radianos). Cada valor y tem uma posição angular ao longo de um período correspondente ao círculo unitário trigonométrico.
 |
Observe que o período é o tempo que uma onda leva para completar um ciclo; enquanto a frequência é uma medida de quantos ciclos de ondas ocorrem por segundo. A amplitude é apenas a altura dos picos da onda, conforme medido a partir do centro ou ponto de equilíbrio da onda.
Gráfico de seno e cosseno
O gráfico para y = sinx, por exemplo, é simplesmente uma onda com picos e vales repetidos:
 |
Quando o gráfico para y = cosx é sobreposto em y = sinx, eles se tornam fáceis de comparar:
 |
y = cos x aparece meramente quando y = sinx mudou uma distância de π para a esquerda ou direita.
Modelagem Física com Seno e Cosseno
Harmônicos
Em harmônicos, ou no estudo do som, essas funções podem ser usadas para modelagem. Observe que uma onda sonora exibe uma amplitude (A) e uma frequência angular (ω). Vamos tomar y = Asin (ωx) por exemplo, onde A = 2 e ω = 60 graus / segundo, o que significa que o objeto que está sendo modelado oscila em um ciclo completo (360 °) em 6 segundos, conforme mostrado abaixo:
T = 360 ° / ω = 360 ° / (60 ° / segundo) = 6 segundos
A quantidade de tempo que leva para um objeto oscilando em movimento harmônico completar um ciclo completo é chamada de período , T, e é medida em segundos. De volta aos gráficos!
Se representarmos graficamente y = 2 sinx (60x):
 |
Quando y = Acos (ωx) é sobreposto em y = Asin (ωx), obtemos:
 |
Observe que, quando obtemos um seno e um cosseno que representam duas ondas de som que são refletidas no eixo x, obtemos algo chamado onda estacionária. É aqui que o termo harmônico é derivado – como no 1o, 2o e 3o harmônico, por exemplo.
 |
1º, 2º e 3º harmônico são determinados pelo número de pontos de interseção das duas ondas ou nós:
 |
Movimento circular uniforme
Como nas harmônicas, as funções seno e cosseno também podem ser usadas na análise de movimento (especificamente movimento circular uniforme). Uma maneira de conceituar essa conexão entre a função trigonométrica e o movimento circular pode ser dar uma olhada em um círculo unitário
 |
Com um objeto movendo-se circularmente ou angularmente em torno de um ponto central fixo, há uma mudança correspondente na localização representada por um ângulo. O objeto pode ser atribuído a uma frequência angular (ω), ou seja, a velocidade na qual o objeto se move através de seu período de 360 graus. Observe que o raio deste círculo é r = 1.
Onde no círculo unitário, conceitualizamos como um objeto se parece circulando em torno de um ponto fixo no espaço, somos capazes de desenvolver uma representação gráfica correspondente do movimento circular desse objeto em um gráfico xy usando seno ou cosseno. Se o movimento de um objeto for modelado por y = 1sin (ωx), seu respectivo gráfico aparecerá como:
 |
Observe como ele circula 360 graus no círculo unitário e também no gráfico xy. Lembre-se também de como a amplitude (A = 1) da onda é igual em valor ao raio (r = 1) do círculo unitário correspondente.
Resumo da lição
As funções trigonométricas (especificamente seno e cosseno) são periódicas por natureza. Portanto, eles são usados para modelar uma variedade de fenômenos físicos, por exemplo, em movimento circular harmônico e uniforme. Eles têm características inconfundíveis. Aprender como reconhecer essas funções periódicas ficou, sem dúvida, mais claro por meio de nossas análises da equação e do gráfico de seno e cosseno.