O que é uma sequência?
Se eu pedisse que você contasse por dois, o que você faria? Você daria uma aparência confusa para a tela, se perguntando se eu estava falando um idioma diferente? Ou você começaria intrinsecamente a pensar ‘2, 4, 6, 8’ em sua cabeça? Provavelmente, você faria o último porque conhece a seqüência de contagem aos dois. Uma sequênciaé um conjunto de números em que o próximo número pode ser previsto a partir dos números anteriores. Em outras palavras, as sequências são grupos de números que seguem uma progressão definida. Para as pessoas interessadas em matemática, as sequências são uma das coisas mais interessantes que existem. Há muito conhecimento contido neles, e só agora estamos começando a decifrar o código de algumas das sequências mais avançadas. Ainda assim, podemos usar muitos dos mais básicos quase todos os dias, da mesma forma que contar aos dois. Nesta lição, veremos dois tipos de sequências básicas, duas sequências mais avançadas e, finalmente, a mais conhecida das sequências verdadeiramente avançadas. Não se preocupe, faremos isso em ordem sequencial.
Sequências aritméticas e geométricas
Quando pedi que você contasse por dois, estava pedindo que fizesse uma sequência aritmética . Uma sequência aritmética é simplesmente uma sequência que é expandida ou contraída pelo mesmo número de inteiros para cada novo termo. Simples, certo? Em outras palavras, você apenas adiciona ou subtrai o mesmo número repetidamente. Esse número é chamado de diferença comum e é a chave para estabelecer se uma seqüência é aritmética ou não. Não precisa ser um dois, aliás, nem precisa começar do zero. Contanto que uma sequência tenha a mesma diferença comum, é aritmética. Como você pode imaginar, isso é útil para tudo, desde a divisão de um grupo maior em subgrupos até o cálculo de porcentagens. Por exemplo, 2, 4, 6, 8 e assim por diante é uma sequência aritmética.
Um pouco mais difíceis são as sequências geométricas . Agora, digamos que eu apenas pedi para você multiplicar um número por dois repetidamente. Essa seria uma sequência geométrica. Isso ocorre quando você simplesmente multiplica ou divide o último número em uma sequência para obter o próximo número. O termo para a quantidade pela qual você multiplica os termos é a proporção comum. Isso é útil para prever eventos futuros, como a distância que uma pedra vai pular se for jogada na água, e reduz sua distância em 50% a cada pulo que faz. Por exemplo, 2, 4, 8, 16, 32 e assim por diante é uma sequência geométrica.
Sequências baseadas em objetos
Essas sequências exigiam apenas matemática básica – mas existem outras mais avançadas por aí. Sequências baseadas em objetos são um ótimo exemplo disso. Em particular, observe as sequências quadradas e as sequências triangulares. Uma sequência quadrada seria a seguinte: 1, 4, 9, 16, 25, 36. Não há nenhuma diferença comum fácil ou razão comum aí. Em vez disso, você pega o termo da sequência, ou seu lugar dentro da sequência, e eleva ao quadrado. É baseado em um objeto porque se você organizasse cada número dentro da sequência em um conjunto de pontos, ele poderia formar um quadrado. Se você quiser pensar em uma sequência quadrada em termos de uma fórmula, seria x ^ 2, onde x é o termo do número na sequência.
Podemos fazer o mesmo com sequências de triângulos . Faça esta sequência: 1, 3, 6, 10, 15. Se você pegasse pontos dela e desenhasse uma forma, terminaria com um triângulo. Aqui, há uma diferença comum, mas é uma diferença comum com uma torção. Você pega a diferença do penúltimo termo e do último termo e adiciona um. Em outras palavras, a diferença comum está sempre mudando, mas a fórmula para encontrá-la é constante. Usando essa fórmula, podemos construir números ainda maiores. A diferença de 15 e 10 é 5, então some um a isso para obter 6. Some 6 a 15 para obter o próximo número na sequência, 21. Então, como a diferença entre 21 e 15 é 6, adicionamos um a isso para obter 7 e, em seguida, adicione 7 a 21 para obter o próximo número da sequência, 28.
Sequência de Fibonacci
Conforme você avança na matemática, você encontrará muitas outras sequências, mas eu queria mostrar a você uma das minhas favoritas, e que é muito comum na natureza. É conhecida como Sequência de Fibonacci . Aqui estão os primeiros números da sequência: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Essa é uma sequência aleatória! Ou é? Tente somar dois números adjacentes – e você obterá o termo imediatamente após eles. Por exemplo, 5 e 8 somados são 13, que vem depois de 8. Então, o que torna isso tão especial? Bem, muitas das formas na natureza tendem a seguir essa sequência, mas também é a proporção dos termos. Se você dividisse o último termo pelo penúltimo termo, você ficaria muito perto desse número chamado Razão Áurea. É algo em torno de 1,6 e é fisicamente atraente para nós, humanos. Tudo, desde o Partenon até o humano idealizado, tem essa proporção presente.
Resumo da lição
Nesta lição, aprendemos sobre sequências . Sequências são grupos de números que seguem uma progressão definida. Começamos examinando a diferença comum das sequências aritméticas e a proporção comum das sequências geométricas antes de prosseguir para as determinações baseadas na forma de sequências triangulares e quadradas . Finalmente, examinamos uma das sequências mais intrigantes da natureza, observando a Sequência de Fibonacci .