Triângulos retos
No mundo dos triângulos, os triângulos vêm em todas as formas e tamanhos. É exatamente como acontece com as pessoas. Você sabe como as pessoas da mesma família compartilham certas características? Por exemplo, fui reconhecido por primos distantes porque compartilhamos o mesmo nariz grande. Sim, estamos todos entusiasmados com isso. De qualquer forma, as famílias de triângulos também compartilham certas características.
Hoje, vamos falar sobre a família do triângulo retângulo. Um triângulo retângulo é apenas um triângulo com um ângulo reto. Então, todos os triângulos desta família compartilham aquele ângulo reto, como um nariz que não pode faltar.
Há mais para triângulos retângulos, no entanto. Como uma família que se veste com roupas combinando, os triângulos retângulos têm lados que podemos rotular apenas porque eles vêm da mesma família. O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Este é sempre o lado mais longo, visto que está do outro lado do ângulo maior.
Esses outros dois lados têm nomes que mudam dependendo do ângulo em que você está focalizando. É como se você usasse calças na cabeça, chamasse de chapéu. Ok, na verdade não. De qualquer forma, digamos que queremos falar sobre esse triângulo retângulo em termos desse ângulo aqui, que chamaremos de teta.
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Semelhança
Então, esse é um membro de nossa família do triângulo retângulo. E se também olharmos para sua irmã mais velha? Aqui está a irmã de ABC , DEF .
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Além disso, olhe para o comprimento das laterais do ABC . AC é 3, BC é 4 e AB (a hipotenusa) é 5. Com DEF , vemos que DF é 6, EF é 8 e DE (a hipotenusa) é 10. ABC e DEF são semelhantes. Isso significa que eles têm o mesmo formato, mas não o mesmo tamanho. O DEF é alguns anos mais velho que o ABC , daí a diferença de tamanho.
Os lados de triângulos semelhantes são proporcionais um ao outro. Isso é importante. Considere a razão em ABC do lado oposto teta à hipotenusa. Isso é 3/5. Em DEF , o rádio dos lados correspondentes é 6/10. 3/5 = 6/10.
Poderíamos fazer o mesmo com o oposto aos lados adjacentes. No ABC , é 3/4. Em DEF , é 6/8. 3/4 = 6/8.
Razões trigonométricas
Portanto, triângulos semelhantes têm lados proporcionais um ao outro. O que isso tem a ver com trigonometria? Tudo! Esse fato sobre os triângulos retângulos nos leva a proporções trigonométricas. Uma proporção trigonométrica é uma proporção entre dois lados de um triângulo retângulo.
Você já ouviu falar de seno, cosseno e tangente? Tudo o que esses termos fazem é colocar rótulos nessas proporções de triângulos semelhantes de que falamos. É como descobrir que existe um nome para o que quer que essas irmãs Kardashian compartilhem.
Essa primeira proporção que examinamos, o oposto sobre a hipotenusa? Chamamos isso de seno . Podemos dizer pecado (theta) = oposto / hipotenusa.
Então há cosseno . Podemos definir isso como o adjacente sobre a hipotenusa. Então, cos (theta) = adjacente / hipotenusa.
Se estendermos nossa metáfora familiar a essas proporções trigonométricas, o seno e o cosseno talvez sejam como gêmeos. Você conhece aquelas pessoas que chamam seus gêmeos de algo fofo, como Jaden e Kaden ou Faith and Hope? Esse é o seu seno e cosseno. Observe que ambos apresentam a hipotenusa na parte inferior da proporção.
E então há tangente . Tangente é o oposto do adjacente. Então tan (theta) = oposto / adjacente. É como o terceiro irmão que às vezes se sente deixado de lado, mas continua tendo uma vida plena fazendo vídeos de aulas de geometria. Uau, tenho um pouco pessoal aí.
Enfim, isso é tudo que significa seno, cosseno e tangente. Se um triângulo retângulo tiver um ângulo teta (que representa qualquer ângulo), qualquer triângulo com o mesmo ângulo será semelhante. Por quê? Porque se dois triângulos retângulos compartilham o ângulo teta, eles são semelhantes. Lembre-se, se dois ângulos de um triângulo são iguais, o terceiro ângulo também o é. E se os três ângulos são iguais, então os triângulos são semelhantes – os mesmos ângulos, talvez apenas lados diferentes, mas os lados ainda estão em proporção.
E assim o seno de teta, ou a razão dos lados, será sempre o mesmo. Se theta for 30 graus, então a proporção do oposto sobre a hipotenusa terá um valor. Se theta for 45 graus, terá um valor diferente. Mas para todos os triângulos com esse ângulo de 30 graus, o seno de teta é sempre o mesmo. É como se toda a família Kennedy tivesse o mesmo sotaque. Bem, exceto Arnold Schwarzenegger, mas ele se casou em.
Podemos lembrar esses termos com a sigla SOH CAH TOA . Isso é seno = oposto / hipotenusa, cosseno = adjacente / hipotenusa e tangente = oposto / adjacente. SOH CAH TOA. Algumas pessoas confundem os dois primeiros e tentam dizer SAH COH TOA. Lembre-se, há uma rima interna para este acrônimo: so – cah – toe – ah. Os antes de As.
Resumo da lição
Para resumir, examinamos a família do triângulo retângulo. Todos esses triângulos compartilham esse ângulo reto. Quando seus ângulos são todos iguais, eles são praticamente irmãos. Eles também são chamados de semelhantes. Essa semelhança nos leva às proporções trigonométricas, que são proporções entre dois lados de um triângulo retângulo.
Primeiro, existe o seno. Isso é igual ao oposto da hipotenusa. Depois, há o cosseno, que é o adjacente sobre a hipotenusa. Finalmente, existe a tangente, que é o oposto da adjacente. Podemos lembrar essas proporções com a sigla SOH CAH TOA . Lembre-se, ele rima: so – cah – dedo do pé – ah.
Resultados de Aprendizagem
No final desta lição, você será capaz de:
- Lembre-se do que torna dois triângulos retângulos semelhantes
- Calcule seno, cosseno e tangente
- Lembre-se da dica útil SOH CAH TOA