Raízes e Expoentes
Trabalhar com raízes e expoentes pode ser complicado na melhor das hipóteses, mas quando você começa a adicionar expressões algébricas e fatoração, fica ainda mais difícil. A má notícia é que os redatores dos testes no SAT adoram criar problemas que deixam os alunos confusos. Mas a boa notícia é que, ao aprender como identificar esses tipos de problemas, você pode evitar tirar conclusões precipitadas.
Nesta lição, você aprenderá como identificar duas armadilhas comuns para alunos que trabalham com raízes e poderes de expressões algébricas. Ambos giram em torno de propriedades de distribuição e ordem de operações , ou a regra que nos diz qual operação de uma dada expressão fazer primeiro. Primeiro, veremos como essas propriedades funcionam com raízes e, a seguir, veremos como são aplicadas a expoentes.
Raízes e Álgebra
As raízes das equações algébricas podem ser complicadas. A chave é lembrar quando você pode distribuir o radical e quando não pode. Esta é a regra: apenas distribua o radical quando a operação subjacente for multiplicação ou divisão – nunca com adição ou subtração.
Quando você tem adição ou subtração sob o sinal radical, você deve fazer a adição ou subtração antes de obter a raiz. A raiz quadrada de x + y não é a mesma coisa que a raiz quadrada de x + a raiz quadrada de y .
Para ilustrar isso, vamos inserir alguns números reais. Digamos que x = 16 ey = 9. Resolveremos de duas maneiras. À esquerda está a solução correta e à direita a solução incorreta.
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À esquerda, você primeiro adiciona 16 + 9 para obter 25 e, em seguida, tira a raiz quadrada disso, que é 5. À direita, você pode ver que se distribuir o radical antes de fazer a adição, você termina com um totalmente resposta diferente.
Podemos fazer a mesma coisa com a subtração: novamente, à esquerda, você primeiro subtrai 25 – 9 para obter 16 e, em seguida, tira a raiz quadrada disso para obter 4. Mas se você fizer errado e distribuir o radical antes de subtrair , você acaba com 2 como sua resposta.
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Com adição e subtração, sempre faça a operação embaixo do radical antes de começar a se preocupar com o radical em si. Mas com multiplicação e divisão, é diferente: a raiz quadrada de x * y é a mesma coisa que a raiz de x vezes a raiz de y . Para ilustrar isso, inseriremos alguns números: x = 9 ey = 4.
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À esquerda, você obtém 9 * 4 primeiro para obter 36 e, em seguida, tira a raiz quadrada disso para obter 6. À direita, você obtém a raiz quadrada de 9 vezes a raiz quadrada de 4, que é 3 * 2, que também é 6. Como você pode ver, os dois fornecem a mesma resposta.
Funciona da mesma forma com a divisão: a raiz quadrada de 9/4 é a mesma coisa que a raiz quadrada de 9 sobre a raiz quadrada de 4. Portanto, com adição e subtração, você não pode distribuir o sinal do radical. Mas com multiplicação e divisão, você pode.
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Poderes e álgebra
A mesma regra exata vale para poderes. Por exemplo, quando você eleva ao quadrado uma equação algébrica, você não pode simplesmente distribuir o quadrado por adição ou subtração. Para deixar isso claro, vamos inserir alguns números. Usaremos x = 3 ey = 4.
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À esquerda está a maneira correta de fazer a equação: primeiro some os números entre parênteses e depois aplique o quadrado. Usando este método, obtemos 49 como a resposta.
À direita está a maneira errada de fazer isso: distribuir o quadrado antes de somar os números entre parênteses. Usando este método incorreto, obtemos 25. Essa é uma grande diferença! O mesmo é verdadeiro para a subtração: ( x – y ) ^ 2 não é a mesma coisa que x ^ 2 – y ^ 2.
É muito bom somar os números quando você realmente tem números, mas e se você tiver uma expressão como ( x + y ) ^ 2? Basta fatorar: ( x + y ) ^ 2 = ( x + y ) ( x + y ). A partir daí, basta usar FOIL para obter x ^ 2 + 2 xy + y ^ 2.
E apenas para registro, também é importante notar o que é equivalente a x ^ 2 – y ^ 2; esta é uma importante equação chamada diferença de quadrados. x ^ 2 – y ^ 2 = ( x + y ) ( x – y ), não x – y ^ 2. Esta é uma grande equação que aparecerá no teste novamente, portanto, acompanhe-a.
Resumo da lição
Nesta lição, você aprendeu sobre alguns erros algébricos comuns no SAT e como evitá-los. Quando você está trabalhando com raízes e expoentes, é importante saber quando você pode distribuir a raiz ou o poder e quando não pode. Em geral, você só pode distribuir com multiplicação ou divisão – não adição ou subtração.
O SAT quase certamente dará a você pelo menos um problema em que você terá que saber disso, portanto, tome cuidado ao distribuir cada raiz e expoente que vir. Não deixe que a busca por uma resposta fácil o leve a cometer um erro bobo!
Resultados de Aprendizagem
Assim que terminar esta lição, coloque seu conhecimento à prova:
- Resolva problemas matemáticos radicais e expoentes
- Lembre-se da importância da ordem das operações e da propriedade distributiva para problemas matemáticos