O que é uma raiz quadrada?
Antes de aprendermos o que é uma raiz quadrada negativa, vamos primeiro definir o que é uma raiz quadrada. O número a é a raiz quadrada de b na expressão a ^ 2 = b . Isso significa que se você multiplicar a por ele mesmo, ou a por a , obterá b . Vamos inserir números reais nessa equação, onde a é 4:
4 ^ 2 = 16
Isso significa que 4 vezes 4 é 16 e, portanto, 4 é a raiz quadrada de 16.
Um número positivo tem duas raízes quadradas: uma é positiva e a outra é negativa. Se tivermos um número positivo b , então suas raízes quadradas serão escritas conforme mostrado na Figura 1. A raiz quadrada negativa de b tem o sinal negativo.
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Vejamos novamente um número real. As duas raízes quadradas de 16 são 4 e -4 porque 4 ^ 2 = 16 e (-4) ^ 2 = 16 como visto na Figura 2 a seguir.
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Qual é a raiz quadrada negativa?
Conforme mostrado anteriormente, uma raiz quadrada negativa é uma das duas raízes quadradas de um número positivo. Para o número 25, sua raiz quadrada negativa é -5 porque (-5) ^ 2 = 25.
Podemos resolver certas equações encontrando a raiz quadrada de um número. Vamos considerar a equação de x ^ 2 = 121. Queremos resolver para x , então precisamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação, conforme mostrado na Figura 3.
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Usamos o símbolo ± porque precisamos considerar ambas as raízes quadradas de 121. Esse símbolo é lido como ‘mais ou menos a raiz quadrada de 121’. A solução para o problema é +11 ou -11. Podemos verificar isso inserindo as respostas na equação original:
11 ^ 2 = 121
(-11) ^ 2 = 121
E quanto à raiz quadrada de um número negativo? Por exemplo, qual é a raiz quadrada de -9? Podemos tentar 3, mas 3 x 3 = 9. Podemos tentar -3, mas (-3) x (-3) = 9. Este dilema é devido ao fato de que a raiz quadrada de qualquer número real x não pode ser negativa . Portanto, a raiz quadrada de um número negativo não existe, pelo menos não dentro do sistema de números reais.
Devemos lembrar que os números reais incluem todos os números racionais (por exemplo, os números inteiros 0 e 7, o inteiro -5 e a fração 2/3), bem como os números irracionais (como pi e raiz quadrada de 3).
No entanto, os matemáticos superaram esse problema de raízes quadradas de números negativos criando a unidade imaginária.
A Unidade Imaginária
A unidade imaginária i é definida como a raiz quadrada de -1.
A principal razão para criar a unidade imaginária foi para resolver equações quadráticas que não têm soluções de números reais. Vamos considerar uma equação quadrática simples como a seguinte:
x ^ 2 + 4 = 0
Se resolvermos para x , obteremos x = ± raiz quadrada de -4. Quais são, então, os valores possíveis de x ?
2 x 2 não é igual a -4 e (-2) x (-2) não é igual a -4.
Isso nos diz que o gráfico desta equação quadrática não tem soluções que sejam números reais. Em outras palavras, ele não cruza o eixo x .
No entanto, podemos dar-lhe soluções imaginárias. Podemos usar a propriedade do produto de raízes quadradas e reescrever a raiz quadrada de -4 como mostrado na Figura 4. Isolamos o número imaginário, que nos deu um número positivo 4 sob o outro símbolo de raiz quadrada. Substituímos a raiz quadrada de -1 por i e terminamos de simplificar normalmente.
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Lá, encontramos as soluções para a equação quadrática x ^ 2 + 4 = 0, embora sejam soluções imaginárias.
Operações com números imaginários
Agora, vamos olhar para as operações com números imaginários e começar com um exemplo simples:
- Simplifique a raiz quadrada de -18 mais a raiz quadrada de -50.
A solução para esse problema é mostrada na Figura 5. Primeiro, precisamos simplificar cada termo. Por exemplo, podemos reescrever a raiz quadrada de 18 usando três fatores: a raiz quadrada de -1, a raiz quadrada de 9 e a raiz quadrada de 2. Portanto, podemos simplificar o primeiro termo para 3 i vezes a raiz quadrada de 2. Se, após simplificar, dois termos tiverem o mesmo fator de raiz quadrada – neste exemplo, a raiz quadrada de 2 – então podemos combinar os termos conforme mostrado.
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Para o próximo exemplo, precisamos primeiro reconhecer que às vezes é possível se livrar dos números imaginários. Vamos considerar a expressão i ^ 2. Podemos reescrever a segunda potência de i como a raiz quadrada de -1 vezes a raiz quadrada de -1. Depois de simplificar, descobrimos que i ^ 2 = -1, um número real.
É importante observar neste ponto da lição que não podemos usar a propriedade de produto de raízes quadradas para combinar dois termos que são raiz quadrada de um número negativo. Caso contrário, i ^ 2 também seria igual a 1 positivo.
Poderes da unidade imaginária
Agora sabemos que i é igual à raiz quadrada de -1 e que i ^ 2 é igual a -1. Vejamos alguns outros poderes de i .
i ^ 3 = ( i ^ 2) ( i ) = (-1) ( i ) = – i
i ^ 4 = ( i ^ 2) ( i ^ 2) = (-1) (- 1) = 1
i ^ 5 = ( i ^ 4) ( i ) = (1) ( i ) = i
Você deve ter notado que voltamos a i quando a unidade imaginária é elevada à potência 5. Portanto, o ciclo será reiniciado. Como o ciclo se repete a cada quarta potência, podemos criar as relações mostradas abaixo, nas quais n é qualquer número inteiro positivo:
i ^ 1 = i ^ (4 n +1) = i
i ^ 2 = i ^ (4 n +2) = -1
i ^ 3 = i ^ (4 n +3) = – i
i ^ 4 = i ^ (4 n +4) = 1
Podemos usar esse padrão para simplificar qualquer potência de i se essa potência for um número inteiro positivo. A unidade imaginária a uma potência de 4 ou qualquer múltiplo de 4 é igual a 1. Para quaisquer potências de i que tenham um expoente de 5 ou maior, divida o expoente por 4. Se o resto for 0, então a potência é igual a 1. Se o o resto não é 0, então use as equações mostradas acima.
Vamos completar um exemplo.
Precisamos avaliar i ^ 43. Primeiro, divida 43 por 4. Obtemos 10 com um resto de 3. Portanto:
i ^ 43 = i ^ 3 = – i
Resumo da lição
Vamos revisar. Todo número positivo tem duas raízes quadradas: uma raiz quadrada positiva e uma raiz quadrada negativa. No entanto, raízes quadradas de números negativos não existem no sistema de números reais. A unidade imaginária nos permite escrever a raiz quadrada de números negativos e completar operações com as raízes quadradas de números negativos nas seguintes condições:
- A unidade imaginária i é igual à raiz quadrada de -1.
- O quadrado da unidade imaginária i ^ 2 é igual a -1.
- Podemos isolar a unidade imaginária da raiz quadrada de um número negativo; no entanto, não podemos usar a propriedade de produto de raízes quadradas para combinar dois termos que são uma raiz quadrada de um número negativo.