Quadriláteros Irregulares
Dê uma olhada na janela mostrada na imagem.
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Vamos falar sobre as características do formato desta janela. Para começar, observe que a janela tem quatro lados e quatro ângulos. Em matemática, chamamos uma forma como esta de quadrilátero . Podemos classificar quadriláteros em dois grupos diferentes; regular e irregular.
Um quadrilátero regular é um quadrilátero com todos os lados com comprimentos iguais. Um quadrilátero irregular é o oposto disso, portanto é um quadrilátero que não é regular. Em outras palavras, um quadrilátero irregular é um quadrilátero com lados que não são todos iguais em comprimento.
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Dê uma olhada na janela novamente. Observe que os lados não são todos iguais em comprimento. Os lados opostos têm comprimento igual, mas nem todos são iguais. Portanto, este é um quadrilátero irregular.
Área de um quadrilátero irregular
Suponha que queremos colocar um painel de vidro na janela, mas precisamos determinar seu tamanho. Em outras palavras, queremos saber a área da janela. Nesse caso, estamos lidando com um retângulo com comprimento de 5 pés e largura de 2 pés. Temos uma fórmula bem conhecida para a área de um retângulo, que é o comprimento vezes a largura. Portanto, encontramos a área de nossa janela multiplicando 5 pés por 2 pés para obter 10 pés quadrados.
- Área = comprimento × largura = 5 × 2 = 10
Este é o tamanho do painel de vidro que precisamos para a janela.
Esse foi um processo muito simples. É ótimo quando estamos trabalhando com um quadrilátero irregular que tem uma fórmula de área agradável como esta janela retangular tinha.
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No entanto, como todos os quadriláteros irregulares são diferentes, não temos uma boa fórmula universal que possamos usar para todos eles. Quando se trata de encontrar a área de um quadrilátero irregular que não tem uma fórmula de área conhecida, uma boa estratégia é usar as seguintes etapas:
- Divida o quadrilátero em dois triângulos desenhando em diagonal.
- Use várias fórmulas e propriedades para encontrar a área de cada um dos triângulos.
- Some as áreas dos triângulos.
Isso parece fácil, mas pode ser um pouco complicado. Vamos considerar um exemplo disso.
Exemplo Quadrilátero Irregular
Suponha que desejamos encontrar a área do quadrilátero irregular mostrado.
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Hmmm … bem, o primeiro passo em nossa estratégia é bastante fácil. Simplesmente dividimos o quadrilátero em dois triângulos desenhando em diagonal.
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Agora é onde as coisas ficam complicadas. Não podemos usar a fórmula para a área de um triângulo, (1/2) (base) (altura), pois não sabemos as alturas dos triângulos. Como afirma a segunda etapa de nossa estratégia, precisaremos usar várias regras e propriedades para encontrar suas áreas. Neste caso, são os seguintes:
Método SAS : A área de um triângulo com dois comprimentos laterais adjacentes um e b , e com ângulo θ sendo o ângulo entre estes lados é 1/2 ab sen (θ).
Lei dos cossenos : Em um triângulo com os lados a , b e c , e os ângulos A , B e C opostos aos seus respectivos lados, temos as seguintes relações:
- c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos ( C )
- b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos ( B )
- a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos ( A )
Fórmula de Heron : Se o triângulo tiver comprimentos laterais a , b e c , então sua área é:
- Área = √ ( s ( s – a ) ( s – b ) ( s – c )) onde s = ( a + b + c ) / 2.
Eu sei que parece muito, mas só mostra como isso pode ficar envolvente.
Observe que em nosso quadrilátero irregular, podemos encontrar a área do triângulo ABC usando o método SAS com a = 3, b = 12 e θ = 120 graus.
- 1/2 ab sin (θ) = (1/2) (3) (12) sin (120) ≈ 15,6
Ótimo! Temos a área de um de nossos triângulos.
Se pudermos encontrar o comprimento da diagonal, teremos todos os comprimentos laterais do triângulo ACD , portanto, podemos usar a fórmula de Heron para encontrar a área. Para encontrar o comprimento da diagonal, podemos usar a lei dos cossenos com a = 3, b = 12 e C = 120, e então resolver para c .
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Concluímos que o comprimento da diagonal é de aproximadamente 13,75 unidades. Agora, simplesmente usamos a fórmula de Heron com a = 7, b = 14 e c = 13,75. Primeiro, encontramos s .
- s = ( a + b + c ) / 2 = (7 + 14 + 13,75) / 2 = 17,375
Agora, usamos a fórmula para encontrar a área do triângulo ACD :
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Vimos que a área do triângulo ACD é de aproximadamente 47 unidades quadradas. Por último, apenas somamos as áreas dos dois triângulos:
- Área do quadrilátero ABCD = 15,6 + 47 = 62,6
Ta-da! A área do quadrilátero irregular é de 62,6 unidades quadradas. Ufa! Foi um processo, mas conseguimos!
Resumo da lição
Vamos levar alguns minutos para revisar o que aprendemos sobre quadriláteros, regulares e irregulares, e como encontrar a área de quadriláteros irregulares.
Um quadrilátero é uma forma de quatro lados e quatro ângulos.
Um quadrilateral regular é um quadrilátero com todos os seus lados tendo o mesmo comprimento.
Um quadrilátero irregular é um quadrilátero que não é regular, portanto, todos os seus lados não têm o mesmo comprimento.
Certos quadriláteros irregulares, como uma pipa ou um retângulo, têm boas fórmulas para suas áreas. No entanto, alguns quadriláteros irregulares não têm uma fórmula de área. Quando for esse o caso, uma boa estratégia para encontrar a área é a seguinte:
- Divida o quadrilátero em dois triângulos.
- Use fórmulas e propriedades para encontrar as áreas de cada triângulo.
- Some as áreas dos triângulos.
O segundo passo é o mais complicado, porque há vários cenários diferentes e cada um exige fórmulas e propriedades diferentes para encontrar as áreas dos triângulos. Quanto mais praticamos com esses tipos de quadriláteros, mais fácil se torna, então continue praticando!