Quadrilátero cíclico: definição
A palavra cíclico geralmente significa circular, basta pensar nessas duas rodas circulares em sua bicicleta. Quadrilateral significa figura de quatro lados. Junte-os e obteremos a definição de quadrilátero cíclico : qualquer figura de quatro lados (quadrilátero) cujos quatro vértices (cantos) estão em um círculo.
Nem todo quadrilátero é cíclico, mas aposto que você pode citar alguns conhecidos. Cada retângulo, incluindo o caso especial de um quadrado, é um quadrilátero cíclico porque um círculo pode ser desenhado ao redor dele tocando todos os quatro vértices. No entanto, nenhum paralelogramo não retangular é cíclico. Não há como desenhar um círculo ao redor de um que toque todos os quatro vértices do paralelogramo não retangular.
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Propriedades dos quadriláteros cíclicos
Os quadriláteros cíclicos são mais do que círculos. Esta é uma propriedade dos quadriláteros cíclicos que você verá em breve pode ajudar a identificá-los:
- A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero cíclico é 180 graus.
Em outras palavras, ângulo A + ângulo C = 180 e ângulo B + ângulo D = 180.
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Existem muitas maneiras de provar essa propriedade, mas a mais rápida delas tem a ver com medidas de arco e ângulos inscritos. Para refrescar sua memória, um ângulo inscrito é um ângulo que tem seu vértice na circunferência do círculo. Você pode ver que todos os ângulos de nosso quadrilátero cíclico são ângulos inscritos. Também sabemos que a medida de um ângulo inscrito é a metade da medida de seu arco interceptado, a partir do teorema do ângulo interno. Vamos usar isso para provar que a soma dos ângulos opostos do quadrilátero cíclico é 180 graus.
Em nossa figura, o arco BCD interceptado pelo ângulo A e o arco DAB interceptado pelo ângulo C juntos formam o círculo inteiro. Portanto, as medidas dos arcos BCD e DAB juntas somam 360 graus. Lembre-se de que todo círculo tem 360 graus.
Sabemos que os ângulos opostos A e C do quadrilátero cíclico são ângulos inscritos. Do teorema do ângulo inscrito, também sabemos que a medida do ângulo A é a metade da medida de seu arco BCD, e a medida do ângulo C é a metade da medida de seu arco DAB.
Assim, juntos, a soma dos ângulos A e C é a metade da soma dos arcos BCD e DAB. Em outras palavras, a soma desses ângulos é metade de 360, ou 180. Terminamos!
Esta propriedade também funciona ao contrário:
- Se um par de ângulos opostos de um quadrilátero for suplementar, ou seja, a soma dos ângulos é 180 graus, então o quadrilátero é cíclico.
Observe que basta um par de ângulos opostos para ser complementar, porque se um par de ângulos soma 180, então o outro par também deve somar 180. Isso ocorre porque todos os quatro ângulos de qualquer quadrilátero devem somar 360 graus.
Por exemplo, suponha que temos um quadrilátero ABCD e sabemos que o ângulo B = 50 e o ângulo D = 130. Como 50 + 130 = 180, o par de ângulos opostos é suplementar e podemos concluir que ABCD é um quadrilátero cíclico.
Trapézio Cíclico
Alguns trapézios são cíclicos e outros não. Felizmente, existe uma maneira fácil de saber.
- Um trapézio é cíclico se, e somente se, for isósceles. Ou seja, os dois lados não básicos são iguais.
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A prova é fácil! No trapézio ABCD, os ângulos A e D são complementares. Eles são ângulos internos do mesmo lado em relação aos segmentos paralelos AB e DC. Em outras palavras, ângulo A + ângulo D = 180.
Mas em um trapézio isósceles, não apenas os lados são iguais, mas também os ângulos da base são iguais. Assim, ângulo C = ângulo D. Assim, ângulo A + ângulo D = ângulo A + ângulo C = 180, provando que os ângulos A e C também devem ser complementares. Visto que encontramos um par de ângulos opostos que são complementares, o quadrilátero deve ser cíclico.
Resumo da lição
Um quadrilátero cíclico é qualquer figura geométrica de quatro lados cujos vértices estão todos em um círculo. Todos os retângulos são cíclicos, mas muitos outros quadriláteros não. Em um quadrilátero cíclico, a soma de cada par de ângulos opostos é de 180 graus. Se um quadrilátero tem um par de ângulos opostos que somam 180, então você sabe que é cíclico. Um trapézio é cíclico se, e somente se, for isósceles.
Resultados de Aprendizagem
O conhecimento dos quadriláteros cíclicos por meio desta lição pode aumentar sua capacidade de:
- Dissecar o termo ‘quadrilátero cíclico’
- Descreva as propriedades dos quadriláteros cíclicos
- Determine se um trapézio é cíclico