Quadrilátero bicêntrico
Suponha que os designers da Tall Oak Toys estejam tentando criar um novo tipo de pipa com a forma de uma pipa típica (em matemática, isso é chamado de pipa direita ), mas tem um círculo dentro da pipa que toca cada um dos lados da pipa em exatamente um ponto, e um círculo na parte externa da pipa que passa por todos os vértices da pipa.
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Em matemática, temos nomes especiais para cada uma das partes desta pipa. Em primeiro lugar, o kite é um quadrilátero , porque é um polígono de quatro lados. Em segundo lugar, os círculos também têm nomes especiais.
- Incircle : O incircle de um polígono é um círculo que pode ser desenhado no interior do polígono que toca cada um dos lados do polígono exatamente uma vez.
- Circuncircle : O circuncircle de um polígono é um círculo que é desenhado em torno do polígono que passa por todos os vértices do polígono.
Agora, juntando tudo isso, chamamos qualquer quadrilátero que tem um incircle e um circuncircle de quadrilátero bicêntrico . Portanto, este kite que os designers estão criando é um quadrilátero bicêntrico. Esse é um nome muito bonito para um conceito muito simples!
Agora, suponha que os projetistas estejam tentando descobrir os comprimentos que os raios de ambos os círculos devem ter para construir as pipas apropriadamente para que possam voar.
Mais uma vez, esses raios têm nomes especiais na matemática!
- Inradius : o inradius de um quadrilátero é o raio do incircle do quadrilátero.
- Circunradius : O circumradius de um quadrilátero é o raio da circunferência do quadrilátero.
- Offset : O segmento de linha que conecta o centro do círculo incircular e o centro do círculo circunflexo.
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Propriedades dos quadriláteros bicêntricos
Nós sabemos os comprimentos dos lados da pipa, mas como diabos vamos encontrar os comprimentos desses raios? Felizmente, os quadriláteros bicêntricos têm algumas propriedades realmente interessantes que tornam a localização desses comprimentos uma simples questão de usar uma fórmula.
Vamos começar com o infravermelho de um quadrilátero bicêntrico. Para encontrar o radial de um quadrilátero bicêntrico com comprimentos laterais a , b , c e d , usamos a seguinte fórmula:
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Agora, considere o circumradius de um quadrilátero bicêntrico. Para encontrar o perímetro de um quadrilátero bicêntrico, usamos a seguinte fórmula:
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Ah! As fórmulas podem tornar as coisas muito mais fáceis! Vamos usá-los para encontrar os comprimentos dos raios da pipa, para que os designers possam colocar essas coisas em produção!
Exemplo
A pipa que os designers estão criando tem comprimentos laterais a = 18 pol, b = 27 pol, c = 27 pol e d = 18 pol. Portanto, temos tudo o que precisamos para encontrar o radius e o circumradius da pipa. Primeiro, encontraremos o inradius. Colocamos nossos comprimentos laterais na fórmula e simplificamos.
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Verificamos que o raio interno da pipa é de 10,8 polegadas. Muito fácil, hein? Vamos agora usar a fórmula do circumradius para encontrar o circumradius da pipa.
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Percebemos que o perímetro da pipa é de aproximadamente 16,22 polegadas, e agora os cientistas têm tudo o que precisam para colocar esse quadrilátero bicêntrico no ar!
Uau! Tudo isso só de saber que a pipa é um quadrilátero bicêntrico e saber o comprimento de seus lados. É tão bom quando objetos geométricos, como quadriláteros bicêntricos, têm propriedades que tornam a localização de suas características tão fácil!
Resumo da lição
Um quadrilátero é um polígono de quatro lados, e um quadrilátero bicêntrico é um quadrilátero que tem um incircle e um circuncircle , onde um incircle é um círculo dentro do quadrilátero que toca cada um dos lados do quadrilátero exatamente uma vez, e um circuncircle é um círculo desenhado em torno do quadrilátero que passa por cada um dos vértices do quadrilátero. Os raios de uma circunferência inscrita e um círculo circunscrito são chamados a inradius e o circumradius , respectivamente.
Quadriláteros bicêntricos com comprimentos laterais a , b , c e d têm propriedades especiais que nos permitem calcular os comprimentos de seus raios usando as seguintes fórmulas:
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Propriedades como essas tornam a análise de quadriláteros bicêntricos e suas características uma tarefa muito mais fácil.