Prova Direta
No Mathematics Justice System, a verdade é representada por dois grupos separados, mas igualmente importantes: a polícia matemática, que investiga possíveis crimes contra a matemática, e as provas diretas que determinam se as afirmações são verdadeiras. Estas são suas histórias.
Está certo; é hora de ser a polícia matemática. Você pode ser o novato direto da academia. Serei o policial veterano tentando lhe ensinar uma ou duas coisas, embora talvez você acabe me ensinando no final.
De qualquer forma, nesta lição, vamos usar provas diretas para chegar ao fundo de alguns mistérios da matemática. Uma prova direta é um método de mostrar se uma declaração condicional é verdadeira ou falsa usando fatos e regras conhecidos.
Uma declaração condicional é uma declaração ‘se, então’. Podemos dizer que se p, então q , onde p é nossa hipótese eq é nossa conclusão . Podemos mostrar isso assim:
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Sabemos que p é verdadeiro, mas precisamos descobrir se q é verdadeiro.
Você vê declarações condicionais o tempo todo. Se você ficar acordado até tarde, ficará cansado amanhã. Ou se você der um biscoito a um rato, ele vai querer um copo de leite.
Quando estamos completando provas diretas, nossas declarações nem precisam incluir as palavras ‘se’ e ‘então’. Considere este: o produto de quaisquer dois inteiros ímpares é ímpar. Como isso é uma afirmação que podemos provar? Podemos reformulá-lo como:
Se x e y forem números inteiros ímpares, x * y resultará em um número inteiro ímpar.
Talvez saibamos que temos uma vítima de assassinato. Precisamos provar se o marido sombrio fez isso ou não.
Amostra de prova nº 1
Ok, mas assassinato está fora da jurisdição da polícia matemática. Com provas diretas, é mais provável que vejamos algo assim:
Se aeb são ímpares, a + b é par .
Portanto, nosso p é ‘se aeb forem ambos ímpares’. Nosso q é ‘então a + b é par’. Nossa prova direta será uma série de afirmações que nos levam de p a q. Precisamos preencher as lacunas, como juntar as peças para resolver um assassinato.
Está com o rosto da cena do crime? Vamos fazer isso. Construímos nossa prova como uma lista, com cada etapa em sua própria linha.
Primeiro, vamos declarar: Suponha que aeb são inteiros ímpares. Essa é a primeira metade de nossa declaração, ou nosso p.
A seguir, iremos declarar, Then a = 2k + 1 eb = 2l + 1, onde k e l são inteiros. Ok, novato, você está comigo? Não? Por definição, um número inteiro par é apenas duas vezes algum número inteiro. Por exemplo, 8 é apenas 2 * 4. E um número inteiro ímpar é duas vezes algum número inteiro, mais 1. Pense em qualquer número inteiro ímpar, como 11. 11 é apenas 2 * 5, mais 1. Então, estamos escolhendo variáveis para inteiros, k e l, e definindo a e b em termos deles. Se a for 11, então a é 2 * 5 + 1, certo? Certo.
Em seguida, podemos dizer: Portanto, a + b = (2k + 1) + (2l + 1) = 2 (k + l + 1). Queremos descobrir o que é a + b – sempre mantenha seu foco no objetivo final. Nós apenas substituímos aqui, então simplificamos.
Agora podemos dizer: Se k e l são inteiros, então k + l + 1. Por quê? Já sabemos que k e l são inteiros. Que tal 1? Sim, também um número inteiro. Portanto, a soma de três inteiros também é um inteiro.
Finalmente, podemos dizer que a + b é par . Isso é o que queríamos provar. Acabamos de resolver o caso. Você me seguiu? a + b deve ser igual se for igual a 2 vezes um inteiro. Lembra-se antes quando dissemos que um inteiro par é apenas duas vezes um inteiro? Acabamos de mostrar que a + b é igual a duas vezes um inteiro, então este caso está encerrado. Hora de um donut e os créditos finais:
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Sim, assim.
Amostra de prova # 2
Bem, bastante tempo de inatividade. Você sabe o que vem logo após um episódio de Law & Proofs? Mais um episódio de Law & Proofs. Vamos resolver outro caso. Estamos investigando uma série de assaltos a banco e … espere, desculpe, show errado. Que tal agora? Se aeb são inteiros ímpares, então ab também deve ser um inteiro ímpar. Uau. Isso é mais em nossa casa do leme.
Então, qual é a nossa hipótese? ‘Se aeb forem inteiros ímpares.’ Essa é a nossa p. Nossa conclusão, ou q, é ‘então ab também deve ser um inteiro ímpar.’
Espere, você pode dizer. Este é fácil. Se a é 1 e b é 3, então ab é 3. Isso é estranho. Se a é 5 e b é 11, então ab é 55. Novamente, é estranho. Claro, isso é tudo verdade. Mas você quer fazer uma prova em que mostremos que essa afirmação é verdadeira para cada conjunto único de números ímpares? Quanto tempo dura o seu turno?
Queremos fazer uma prova direta que simplesmente comprove a afirmação para todos os inteiros ímpares.
Vamos começar, naturalmente, pelo início: Se aeb são inteiros ímpares, então a = 2x + 1 e b = 2y + 1, onde x e y são inteiros. Ok, isso parece complicado, mas vamos substituir alguns números para ver o que estamos fazendo. Estamos dizendo que xey são inteiros. Se x for 4, então 2x + 1 será 9. Se x for 7, então 2x + 1 será 15. Não importa o que x ou y sejam, esse 2 o tornará par, então que ‘+ 1’ o tornará ímpar. E você pensou que ‘+ 1’ era apenas para convites de casamento.
É importante usar dois inteiros, como x e y, e não apenas x. Por quê? Porque a e b são números inteiros diferentes.
A seguir, podemos afirmar, ab = (2x + 1) (2y + 1) por causa da definição de ab . Estamos tentando provar que ab é estranho, então vamos pegar nossos valores ab e multiplicá-los juntos.
Em seguida, fazemos algumas contas. ab = 4xy + 2x + 2y + 1 expandindo os colchetes . Então, obtemos ab = 2 (2xy + x + y) + 1 porque 2 é um fator comum .
É isso aí. Você vê? 2xy + x + y será um número inteiro. Não importa o quão complicado pareça; o resultado será algum número inteiro. Portanto, temos 2 vezes um inteiro, depois mais 1. É assim que definimos um inteiro ímpar. Então, ab deve ser estranho. Outro caso encerrado.
Resumo da lição
Em resumo, aprendemos que o trabalho policial envolve uma quantidade surpreendente de papelada. Mais importante, aprendemos sobre provas diretas.
Uma prova direta é um método de mostrar se uma declaração condicional é verdadeira ou falsa usando fatos e regras conhecidos. As instruções condicionais são instruções ‘if, then’. É basicamente se p, então q . P é a hipótese eq é a conclusão . A prova direta é uma série de afirmações que começam com a hipótese, depois usam fatos e processos conhecidos para determinar a verdade da conclusão.
Resultados de Aprendizagem
Você deve ser capaz de fazer o seguinte depois de assistir a esta vídeo-aula:
- Defina declarações condicionais
- Explique como usar provas diretas para mostrar se uma afirmação condicional é verdadeira ou falsa