Prova por Contradição
No livro A Mathematician’s Apology, de GH Hardy (foto abaixo), ele descreve a prova por contradição como ‘uma das melhores armas do matemático’. Ele prosseguiu dizendo: ‘É um gambito muito melhor do que qualquer jogo de xadrez: um jogador de xadrez pode oferecer o sacrifício de um peão ou mesmo de uma peça, mas um matemático oferece o jogo.’
Às vezes, quando é difícil ou absolutamente impossível provar a verdade de uma afirmação diretamente, podemos recorrer à prova por contradição. Sabemos que uma afirmação não pode ser verdadeira e falsa – tem que ser uma ou outra. A prova por contradição usa esse fato para provar que algo é verdadeiro, mostrando que não pode ser falso. Ao provar que algo é verdadeiro usando prova por contradição , você assume que a afirmação é falsa e, à medida que prossegue com a prova, entra em contradição, tornando impossível a suposição de que sua afirmação original é falsa, portanto, deve ser verdadeira.
Ao decidir se a prova por contradição é a melhor maneira de provar uma determinada afirmação, é uma boa ideia se perguntar: o que aconteceria se a afirmação não fosse verdadeira? Se o resultado da afirmação não ser verdadeira leva a algo que não faz sentido, como 1 = 5 ou p é par e p é ímpar, então a prova por contradição é uma boa maneira de proceder.
Passos
Para esclarecer ainda mais o processo de prova por contradição, vamos dividi-lo em etapas. Ao usar prova por contradição, seguimos estas etapas.
- Suponha que sua declaração seja falsa.
- Proceda como faria com uma prova direta.
- Encontre uma contradição.
- Declare que, por causa da contradição, não pode ser o caso de a afirmação ser falsa, portanto, deve ser verdadeira.
Exemplos
Um exemplo muito comum de prova por contradição é provar que a raiz quadrada de 2 é irracional. Antes de examinar esta prova, existem algumas definições que precisaremos saber para entender a prova:
- Número par : um número m que pode ser escrito como m = 2 n onde n é um inteiro
- Número ímpar : um número r que pode ser escrito como r = 2 s + 1, onde s é um inteiro. Por exemplo, 14 é um número par porque 14 = 2 * 7. Da mesma forma, 101 é um número ímpar porque 101 = 2 * 50 + 1. Observe que se um inteiro não for par, então ele é ímpar. O contrário também é verdade. Se um número inteiro não for ímpar, ele será par.
- Número racional : um número que pode ser escrita como p / q onde p e q são inteiros. Por exemplo, 3 e 0,9 são números racionais porque podemos escrever 3 como 3/1 e podemos escrever 0,9 como 9/10.
Agora, vamos dar uma olhada nesta prova de que a raiz quadrada de 2 é irracional.
Declaração: A raiz quadrada de 2 é irracional.
Prova por contradição:
Suponha que não. Ou seja, suponha que a raiz quadrada de 2 seja racional. Em seguida, a raiz quadrada de 2 pode ser escrita como p / q onde p e q são inteiros, e p / q é reduzido tanto quanto possível ( p e q não partilhe quaisquer fatores comuns). Observar:
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Portanto, p ^ 2 é par, então p é par. Como p é par, o seguinte é verdadeiro:
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Como p ^ 2 = 2 q ^ 2 e p ^ 2 = 4 k ^ 2, vemos que 2 q ^ 2 = 4 k ^ 2. Se dividirmos ambos os lados por 2, temos que q ^ 2 = 2 k ^ 2, então q ^ 2 é par, e segue que q é par. No entanto, se p e q forem pares, eles compartilham um fator comum de 2 e p / q não é reduzido tanto quanto possível. Isso é uma contradição com nossa suposição original, então deve ser o caso de que a raiz quadrada de 2 não seja racional. Portanto, a raiz quadrada de 2 é irracional.
Na prova acima, cada etapa é ilustrada. Para a etapa um, presumimos o oposto da afirmação ‘a raiz quadrada de 2 é irracional’, então presumimos que a raiz quadrada de 2 é racional. Para o passo dois, tentamos provar que a raiz quadrada de 2 é racional. O terceiro passo foi encontrar uma contradição, e descobrimos isso quando vimos que p / q era redutível e irredutível. Isso nos levou à etapa quatro, onde afirmamos que nossa suposição de que a raiz quadrada de 2 era racional não pode ser verdadeira, portanto, a raiz quadrada de 2 deve ser irracional.
Vamos considerar outro exemplo simples. Suponha que queremos provar a seguinte afirmação.
Declaração: 193 é um número ímpar.
Embora pudéssemos provar isso diretamente mostrando que 193 = 2 * k + 1 onde k é um número inteiro, usaremos a prova por contradição para ilustrar melhor esse método.
Prova por contradição:
Suponha que não. Ou seja, suponha que 193 não seja um número ímpar. Como 193 é um número inteiro e, por suposição, não é um número ímpar, deve ser um número par. Então existe um inteiro s tal que 193 = 2 * s .
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No entanto, se s = 96,5, não é um número inteiro, então temos uma contradição. Portanto, não pode ser verdade que 193 é um número par, então 193 deve ser um número ímpar.
Resumo da lição
Agora temos outro método de prova em nossa caixa de ferramentas, a saber, prova por contradição – uma de nossas ‘melhores armas’ quando se trata de provar uma afirmação ou argumento. Para realizar a prova por contradição, pergunte-se primeiro o que aconteceria se sua afirmação não fosse verdadeira. Se você perceber que isso levaria a uma contradição, então a prova por contradição é um bom caminho a percorrer. Depois de decidir que este é o método que deseja usar, siga as etapas descritas nesta lição para provar sua afirmação com sucesso.