Direto vs. Indireto
Sempre há mais de uma maneira de ir do ponto A ao ponto B. Imagine que você e eu saímos para dar uma caminhada. Estamos começando no ponto A e terminando no ponto B. Uma maneira de fazer isso é seguir um caminho reto do ponto A ao ponto B, e a outra é um caminho diferente que tem mais voltas e mais voltas.
O segundo caminho não é mais difícil; é apenas diferente do caminho reto. Normalmente, o caminho reto é o caminho mais seguido, porque é um tiro direto de um ponto a outro. O caminho um pouco diferente é o caminho menos percorrido, pois é uma forma indireta de ir do ponto A ao ponto B.
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Esses caminhos são uma ótima analogia para provas diretas e indiretas em geometria. Uma prova direta em geometria é a forma mais comum de prova usada. Em uma prova direta, deduzimos logicamente a conclusão diretamente, usando fatos relativos à situação específica. Isso pode ser visto como um tiro direto ou um caminho direto para ir de uma suposição a uma conclusão.
Uma forma menos comum de prova em geometria, embora igualmente eficaz, é a prova indireta . Em uma prova indireta, tentamos provar uma conclusão de maneira indireta. Isso pode ser considerado o caminho menos percorrido. Ambos os caminhos podem ser usados para chegar ao mesmo lugar e ambos são igualmente eficazes. Eles são apenas duas maneiras diferentes de obter o mesmo resultado, onde a prova direta é mais direta do que a prova indireta. Nesta lição, vamos nos concentrar nas provas indiretas.
Prova Indireta
Quando usamos uma prova indireta para provar uma teoria, seguimos três etapas.
1.) Comece assumindo que a teoria é falsa
2.) Em seguida, fazemos nossa prova e eventualmente encontramos uma contradição , que é algo que não faz sentido.
3.) A contradição do passo 2 prova que nossa suposição de que a teoria é falsa não é o caso, então a teoria deve ser verdadeira.
Uma prova indireta também é chamada de prova por contradição , porque estamos literalmente procurando uma contradição para uma teoria ser falsa, a fim de provar que a teoria é verdadeira.
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Quando usar a prova indireta
Uma boa maneira de determinar se você deve usar o método de prova indireta é fazer a si mesmo a seguinte pergunta: E se isso não fosse verdade?
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Se nos fizermos essa pergunta e a resposta for que uma contradição aconteceria, então usar o método de prova indireta é uma boa ideia.
Por exemplo, imagine que você está tomando certo tipo de medicamento e não consegue se lembrar se lembrou de tomá-lo em um determinado dia. Você se pergunta: e se eu não aceitasse hoje? Você percebe que tinha 10 comprimidos restantes ontem. Se você não tomasse, ainda sobrariam 10 comprimidos hoje, mas você contou os comprimidos mais cedo e restam apenas 9. Portanto, não faria nenhum sentido que você não tomasse hoje, então você deve ter tomado sua pílula hoje. Você acabou de provar que tomou sua pílula usando uma prova indireta.
Exemplo
Vejamos um exemplo de prova indireta em geometria. Considere a imagem abaixo.
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Nesta imagem, o segmento de linha DB é perpendicular ao segmento de linha AC. Vamos usar uma prova indireta para provar que o ângulo ABD não é 180 graus.
Prova:
Vamos provar que o ângulo ABD não é de 180 graus por meio de prova indireta. Começamos assumindo o oposto. Ou seja, assumimos que o ângulo ABD é 180 graus.
Foi-nos dado que o segmento de linha DB é perpendicular ao segmento de linha AC. Pela definição de linhas perpendiculares, DB e AC formam ângulos retos onde se cruzam. Pela definição de um ângulo reto, o ângulo ABD e o ângulo CBD têm medidas de 90 graus. Isso é uma contradição com nossa suposição original de que o ângulo ABD é de 180 graus. Portanto, o ângulo ABD não é 180 graus, e isso completa nossa prova.
Resumo da lição
Uma prova indireta , também chamada de prova por contradição , é uma forma indireta de provar que uma teoria é verdadeira. Quando usamos o método de prova indireta, presumimos que o oposto de nossa teoria é verdadeiro. Em outras palavras, assumimos que nossa teoria é falsa. Em seguida, procedemos com a prova até que nos deparemos com uma contradição (ou algo que não faça sentido). Quando isso acontece, sabemos que a suposição de que nossa teoria é falsa não pode ser o caso, então provamos que nossa teoria é verdadeira.
Para determinar se o método de prova indireta é um bom método a ser usado, você deve se perguntar o que aconteceria se sua teoria não fosse verdadeira. Se a resposta for que você entraria em contradição, então este é um bom método a ser usado. Embora a prova indireta seja diferente da prova direta mais comumente usada, é igualmente eficaz. Podemos apenas pensar nisso como outra maneira de chegar ao destino desejado.