Provas diretas e indiretas
Suponha que você e sua amiga Rachel vão a um festival de arte. Quando você chega lá, você é o único lá. Rachel olha para você e diz: » Se o festival de arte fosse hoje, haveria centenas de pessoas aqui, então não pode ser hoje. »
Você pega seus ingressos, olha a data e diz: » A data dos ingressos é amanhã, então o festival de arte não é hoje. »
Observe que você e Rachel chegaram à mesma conclusão, mas você chegou a essa conclusão de maneiras diferentes. Acontece que seu argumento é um exemplo de prova direta, e o argumento de Rachel é um exemplo de prova indireta.
- Uma prova direta assume que a hipótese de uma conjectura é verdadeira, e então usa uma série de deduções lógicas para provar que a conclusão da conjectura é verdadeira.
- Uma prova indireta se baseia em uma contradição para provar uma determinada conjectura, assumindo que a conjectura não é verdadeira e, então, entrando em uma contradição que prova que a conjectura deve ser verdadeira.
Método de Provas Diretas
As definições de provas diretas e indiretas dão lugar aos passos que seguimos para realizar cada tipo de prova.
Para realizar uma prova direta, usamos as seguintes etapas:
- Identifique a hipótese e a conclusão da conjectura que você está tentando provar
- Suponha que a hipótese seja verdadeira
- Use definições, propriedades, teoremas, etc. para fazer uma série de deduções que eventualmente provam que a conclusão da conjectura é verdadeira
- Declare que por prova direta, a conclusão da afirmação deve ser verdadeira
Considere seus argumentos novamente. No seu argumento (prova direta), você usa o fato de que os ingressos dizem que o festival de arte é amanhã para provar que o festival de arte não pode ser hoje. Você usa uma prova direta usando deduções lógicas para provar uma conclusão.
Método de Provas Indiretas
Mas para realizar uma prova indireta, usamos um processo diferente que inclui as seguintes etapas:
- Suponha o oposto da conjectura, ou suponha que a conjectura é falsa
- Tente provar sua suposição diretamente até que você se depare com uma contradição
- Uma vez que obtemos uma contradição, deve ser o caso em que a suposição de que o oposto da hipótese é verdadeiro é falsa
- Afirme que, por contradição, a conjectura original deve ser verdadeira
No argumento de Rachel (prova indireta), ela parte do pressuposto do contrário da conjectura original, de que o festival não é hoje. Isto é, ela começa com » Se o festival de arte fosse hoje », então ela diz, » haveria centenas de pessoas aqui. »
Isso é uma contradição, já que você e Rachel são os únicos aqui. Por fim, ela conclui que » o festival de arte não pode ser hoje. » Juntos, ela usa na prova indireta ao assumir o oposto da conjectura, identificar uma contradição e afirmar que a conjectura original deve ser verdadeira.
Exemplo 1
Ok, agora que entendemos as provas diretas e indiretas, vamos obter um pouco mais de matemática. Suponha que queremos provar a seguinte afirmação:
- O número 7 é um número racional.
Primeiro, vamos considerar provar isso diretamente.
Prova direta:
Um número racional é definido como um número que pode ser escrita na forma p / q , em que p e q são números inteiros. O número 7 pode ser reescrito como 7/1, porque 7 dividido por 1 ainda é 7. Visto que 7 e 1 são ambos inteiros, e 7 pode ser escrito como 7/1, temos isso pela definição de um número racional, 7 é um número racional.
Agora, vamos ver o que acontece se provarmos isso indiretamente.
Prova indireta:
Suponha que o número 7 não seja um número racional. Um número que não é racional é chamado de irracional e não pode ser escrito como uma fração, p / q , onde p e q são ambos inteiros. Visto que 7 não é racional, deve ser irracional. No entanto, podemos escrever 7 como 7/1, onde 7 e 1 são inteiros, mas é impossível escrever números irracionais como frações. Esta é a nossa contradição, então 7 deve ser um número racional.
Nesse caso, a prova direta é um pouco mais curta e fácil de usar. No entanto, há muitos casos em que uma prova indireta é mais fácil.
Exemplo 2
Por exemplo, suponha que quiséssemos provar a afirmação:
- Se a + b for ímpar, então a ou b deve ser ímpar.
Se tentarmos provar isso diretamente, descobriremos que é bastante complicado. No entanto, dê uma olhada se o provamos indiretamente:
Prova indireta:
Suponha que a + b seja ímpar, mas que nem a nem b sejam ímpares. Então, a e b devem ser pares. Pela definição de um número par, a = 2 k e b = 2 m , onde k e m são inteiros. Portanto,
- a + b = 2 k + 2 m = 2 ( k + m )
Como os inteiros são fechados sob adição, k + m é um inteiro, então a + b é par pela definição de números pares, mas por suposição, a + b é ímpar. Essa é a nossa contradição. Por contradição, deve ser o caso que se a + b é ímpar, então a é ímpar ou b é ímpar.
Fácil, certo? A prova indireta é o método mais apropriado neste caso.
Resumo da lição
Vamos revisar…
- Uma prova direta assume que a hipótese de uma conjectura é verdadeira, e então usa uma série de deduções lógicas para provar que a conclusão da conjectura é verdadeira.
- Uma prova indireta se baseia em uma contradição para provar uma determinada conjectura, assumindo que a conjectura não é verdadeira e, então, entrando em uma contradição que prova que a conjectura deve ser verdadeira.
Provas diretas e indiretas são usadas com bastante frequência em matemática, e cada uma delas se presta a provar afirmações de maneiras únicas. Quanto mais praticarmos esses tipos de provas, mais seremos capazes de identificar qual método de prova é mais apropriado para uma determinada situação. Portanto, vamos manter em mente o velho ditado que diz que a prática leva à perfeição e tentar trabalhar com os dois tipos de provas o máximo possível!