O integral
Lembre-se de que uma integral é definida entre um limite inferior ( x = a ) e um limite superior ( x = b ) e você está integrando sobre f (x) , que é conhecido como integrando. A variável de integração é escrita neste termo dx , então, neste caso, estamos integrando sobre x . Muitas vezes pensamos nisso como sendo a área sob uma curva. Aqui, é a área entre f (x) e o eixo x (entre x = a e x = b) Vamos pensar em algumas das propriedades que essas integrais têm. Para o bem de todos esses exemplos, vamos realmente integrar a função da sua velocidade, então a velocidade como uma função do tempo. Temos a integral de a até b de f (t) dt . O tempo é nossa variável independente.
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Propriedade Integral Zero
A primeira propriedade é a ‘Propriedade Going Nowhere’. Esta é realmente a Propriedade Integral Zero . Digamos que você tenha f (t) (sua velocidade em função do tempo) e deseja integrar de t = a a t = a f (t) dt . Lembre-se de que, se você tomar a integral de sua velocidade como uma função do tempo, você saberá o quanto você avançou nesse período de tempo. Neste caso, o tempo passa de um para um , então não há tempo decorrido. Se nenhum tempo passou, você não foi a lugar nenhum. Então, a integral de um para um de f (t) dt= 0, porque nenhum tempo passou e você não foi a lugar nenhum.
Propriedade para trás
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E se eu escrever f (t) dt de t = a para t = b ? Isso está avançando no tempo de t = a para t = b . E se eu pegar a integral de t = b para t = a ? Isso está voltando no tempo. Se eu for 30 milhas a frente de tempos a ao tempo b , quando eu reverter o tempo, eu estou indo para ir 30 milhas para trás. Então, em termos de integrais, escrevemos isso como a integral de a até b de f (t) dt = – a integral deb a a de f (t) dt . Esta é a propriedade retroativa . Se você trocar os limites da integração, aqui, você também terá que trocar o sinal.
Propriedade Constante
Esta propriedade constante também é chamada de ‘Propriedade de aceleração’ ou ‘Propriedade do it again’. Digamos que você tenha uma integral de a até b de C * f (t) dt , com C como constante. Pense nisso como se Cf (t) = 60 mph. Se você vai 60 mph de tempo um ao tempo b , você vai acabar em algum lugar abaixo da estrada. Se, em vez disso, você estiver indo a 30 mph (isso é f (t) ), você chegará apenas na metade do caminho. Então você teria que fazer isso duas vezes. Se você tem uma constante dentro de uma integral, você pode puxar a constante fora da integral para obter a integral de a para bde Cf (t) dt é igual a C * a integral de a até b de f (t) dt . Você pode ir rápido ou devagar, mas faça isso duas vezes.
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Propriedade Aditiva
Em seguida, temos a ‘Propriedade Continue a Seguir’, também conhecida como Propriedade Aditiva . Nesse caso, temos a integral de a para b de f (t) dt + a integral de b para c de f (t) dt = a integral de a para c de f (t) dt . Tudo o que fiz aqui foi pegar minha velocidade de a a be encontrar minha área. Em seguida, adicionei a ela a área de b a c . É a mesma coisa que encontrar a área entre a e c. Isso seria como se eu estivesse em uma viagem. Depois de uma hora, vejo o quão longe fui e, na segunda hora, vejo o quão longe fui desde aquela primeira hora. Seria a mesma coisa como se eu tivesse olhado para todas as duas horas que estive dirigindo. Portanto, a integral de a para b mais a integral de b para c é a mesma coisa que a integral de a para c .
Propriedade Sums
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Por último, temos a propriedade Sums ou ‘Propriedade Fast Lane’. Digamos que você esteja encontrando a integral de a a b de f (t) + g (t) . Digamos que f (t) é a velocidade do tráfego na rodovia e g (t) é a velocidade com que você está indo em cima dela. Portanto, sua velocidade total é a velocidade de todos os outros no trânsito mais a diferença entre sua velocidade e a de todos os outros (a velocidade com que você está se afastando de todos). Portanto, a integral de a para b de ( f (t) + g (t) ) dt = a integral de a para bde f (t) dt + a integral de a até b de g (t) dt .
Resumo da lição
Vamos revisar as propriedades das integrais que aprendemos:
- A Propriedade Integral Zero é a integral de a a a de f (x) dx = 0
- A propriedade para trás é a integral de a para b de f (x) dx = – a integral de b para a de f (x) dx
- A propriedade constante é a integral de a a b de Cf (x) dx = C * a integral de a a b de f (x) dx
- A propriedade aditiva é a integral de a a b de f (x) dx + a integral de b a c de f (x) dx = a integral de a a c de f (x) dx
- A propriedade das somas é a integral de a para b de ( f (x) + g (x) ) dx = a integral de a para b de f (x) dx + a integral de a para b de g (x) dx