Números Racionais e Irracionais
Tendo encontrado um trabalho sazonal na cidade, Fred tem o prazer de começar seu novo emprego no Empório de números reais. Sua primeira tarefa é classificar os números reais que descem pela correia transportadora em duas caixas, rotuladas Q e I. A letra » Q » é para o conjunto de números racionais, onde » Q » representa » quociente. » A letra » I » é para o conjunto de números irracionais. Veja, os números reais são racionais ou irracionais . Fred sabe que a palavra » irracional » significa » não racional », mas ele não tem certeza de como identificar números racionais. Se ao menos ele tivesse ficado acordado na aula de álgebra. Vamos ver se podemos renovar as habilidades de Fred e ajudá-lo a manter seu emprego.
Identificando Números Racionais
A palavra » racional » inclui a palavra » proporção. » Uma proporção é o quociente de dois números. Uma razão a / b , onde a e b são inteiros como {. . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ,. . .} é a chave para identificar números racionais. A única restrição em b é b ≠ 0, porque dividir por 0 é indefinido. Se um número pode ser escrito como a / b , é um número racional e vai para a caixa Q.
Imagine que o primeiro número que Fred vê seja 7. Ok, 7 = 7/1, então 7 é um número racional.
O próximo número é 2,56. Ok, 2,56 = 256/100, então novamente vai para a caixa Q.
O terceiro número é 0,3 … Hmmm,
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Fred algum dia verá um número irracional?
O próximo número é √4. As raízes dos números podem ou não ser racionais. Nesse caso, √4 = 2 e 2/1 é um número racional.
O próximo número, √5, não é um quadrado perfeito e não pode ser escrito como a / b . Portanto, √5 é um número irracional e vai na caixa I.
Fred está no trabalho há 15 minutos e já precisa de uma pausa. Ele pede que você assuma. Como você classificaria os seguintes números reais?
√2, √16, -31, π e .7142857142857142. . .
Suas decisões são:
- √2 não é um quadrado perfeito, então é irracional.
- √16 é um quadrado perfeito igual a 4/1, então é racional.
- π não pode ser escrito como a / b (embora π ≅ 22/7), o que o torna irracional.
- .7142857142857142. . . é um decimal repetido. Pode ser escrito como 5/7, o que o torna racional.
Existe um método para converter esse decimal repetido em uma proporção. Vamos dar uma olhada.
x = 0,714285
10 6 x – x = 714285
x = 714285 / (10 6 – 1)
x = 714285/999999
Se fatorarmos e cancelarmos, terminaremos com 5/7
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Propriedades dos Números Racionais
Fred está de volta ao trabalho e termina seu primeiro dia. A chefe, Dona Real, está impressionada com o seu trabalho e lhe oferece um trabalho de controle de qualidade. Isso mesmo, você vai tirar amostras da caixa racional e testá-las.
Você decide usar algumas propriedades:
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Propriedade 1: A soma de dois números racionais é racional.
Resumindo: Q + Q ∈ Q.
O símbolo ∈ significa » está em » ou » pertence a. » -
Propriedade 2: O produto de dois números racionais é racional.
Q x Q ∈ Q
Se adicionarmos ou multiplicarmos dois números racionais, o resultado ainda é um número racional.
O controle de qualidade começa com os números 7 e 2,56.
Vamos adicionar:
7 + 2,56 = 9,56 = 956/100, o que é racional.
Agora vamos multiplicar:
7 x 2,56 = 17,92 = 1,792 / 100, o que é racional.
Os próximos dois números a verificar são √4 e √5:
Mais uma vez, adicionaremos:
√4 + √5 = 2 + √5, que não pode ser escrito como a razão de a / b . Portanto, um dos números foi colocado por engano na caixa Q. É o √5, que é um número irracional.
Isso leva a mais duas propriedades:
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Propriedade 3: A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
Q + I ∈ I -
Propriedade 4: O produto de um número racional com um número irracional é um número irracional.
Q * I ∈ I
Há uma exceção a ser lembrada! 0 é um número racional. Multiplicando o número racional 0 vezes qualquer número irracional resulta em 0. Portanto, a Propriedade 4 é boa, desde que o número racional não seja 0.
A Sra. Real está pronta para lhe dar uma promoção, mas ela tem algumas perguntas para a entrevista para você. E se você somar ou multiplicar dois números irracionais? Você pode dizer algo sobre o resultado?
Adicionando / Multiplicando Números Irracionais
Até agora, sabemos que somar ou multiplicar números racionais dá um número racional:
Q + Q ∈ Q e Q * Q ∈ Q
Também sabemos que adicionar ou multiplicar um número racional com um número irracional resulta em um número irracional:
Q + I ∈ I e Q * I ∈ I
A primeira pergunta feita pela Sra. Real: » O que você pode dizer sobre eu + eu? »
Por exemplo, √7 é irracional. (6 – √7) também; mas somados, o resultado é:
√7 + (6 – √7) = 6, o que é racional.
Por outro lado, √ 7 + √7 = 2√7, o que é irracional.
Portanto, a resposta é:
- Propriedade 5: A soma de dois números irracionais às vezes é racional e às vezes irracional.
A Sra. Real gostou da sua resposta e agora gostaria que você refletisse sobre o que acontece quando dois números irracionais são multiplicados.
Por exemplo, √3 é irracional. Então é √5. O produto é:
√3 x √5 = √ (15), que não é um quadrado perfeito; portanto, o resultado é irracional.
Que tal √3 e √3? Dois números irracionais multiplicados juntos dão:
√3 x √3 = √9 = 3, um número racional.
E quanto aos dois números irracionais √8 e √2? Multiplicados juntos:
√8 x √2 = √ (16) = 4, um número racional.
Sua resposta à Sra. Real é:
- Propriedade 6: O produto de dois números irracionais é às vezes racional e às vezes irracional.
A Sra. Real está radiante! Você começa amanhã. Fred, por outro lado, já está procurando outro trabalho que o deixe dormir até tarde da manhã e decolar nos finais de semana de 3 dias.
Resumo da lição
Os números reais são racional , se eles podem ser escritos como a razão a / b , onde a e b são inteiros e onde b ≠ 0. Se um número real não é racional, é irracional . As interações numéricas de números racionais e irracionais podem ser declaradas nas seguintes seis propriedades:
- Propriedade 1: A soma de dois números racionais é racional.
- Propriedade 2: O produto de dois números racionais é racional.
- Propriedade 3: A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.
- Propriedade 4: O produto de um número racional com um número irracional é um número irracional.
- Propriedade 5: A soma de dois números irracionais às vezes é racional e às vezes irracional.
- Propriedade 6: O produto de dois números irracionais é às vezes racional e às vezes irracional.