Dilatação é uma transformação
Você se lembra do jogo Super Mario Brothers da Nintendo em que o personagem principal comia um cogumelo e depois aumentava de tamanho? A programação do computador está usando uma dilatação para fazer isso acontecer. Uma dilatação é quando uma forma manteve sua orientação, mas seu tamanho foi alterado, ficando menor ou maior. Esta é uma forma de transformação , que é o reposicionamento de uma forma.
Existem quatro transformações básicas: reflexão, rotação, translação e dilatação.
- Um reflexo é quando uma forma é refletida em uma linha.
- Uma rotação é quando uma forma foi girada.
- Uma translação é quando uma forma foi movida (deslizada) sem alterar a orientação da forma.
- A quarta transformação (e o tópico desta lição) é a dilatação .
Fatores de escala
Quando se trata de fazer algo com um tamanho diferente, você deve sempre responder à pergunta: quanto você deseja alterar? O fator de escala é a quantidade que você deseja alterar em uma forma. O fator de escala é sempre uma medida de multiplicação. Se o fator de escala for um número maior que um, a forma ficará maior. Se o fator de escala for um número menor que um, a forma encolherá.
Se você tiver um fator de escala de três, os comprimentos de sua forma se tornarão três vezes o tamanho original. Uma forma que está sendo dilatada com um fator de escala de 1/2 terá a metade do tamanho do original. Isso pode ser considerado como uma multiplicação pela metade ou uma divisão por dois. Se o fator de escala for um, então nada muda, porque multiplicar qualquer coisa por um dá o que você começou.
O fator de escala multiplica a distância, e a distância é unidimensional. O que acontece com a área quando uma forma foi dilatada? Vamos pegar um quadrado de uma polegada e dilatá-lo por um fator de três. Os lados têm agora sete centímetros de uma peça. A área de um quadrado de três polegadas é de nove polegadas quadradas (3 x 3). A área do quadrado original era de 1 polegada quadrada (1 x 1). O comprimento do lado do quadrado triplicou. A área é bidimensional, então precisamos usar o fator de escala duas vezes, elevando-o ao quadrado. Ao encontrar o volume, você usará o fator de escala três vezes, dividindo-o ao cubo.
Centro de dilatação
Sempre que uma forma está sendo dilatada, você deve saber de que ponto ela está sendo dilatada. Este ponto é denominado centro de dilatação . O centro de dilatação é assumido como a origem (0,0) da grade de coordenadas x, y , a menos que indicado de outra forma.
Para determinar a dilatação, você deve começar com um ponto na forma original. A que distância este ponto está do centro de dilatação em termos de x e y ? Essa distância será então multiplicada pelo fator de escala. O novo ponto estará tão longe do centro de dilatação.
Por exemplo, digamos que você tenha o ponto (2, 3) que está em alguma forma. Vamos dilatar esta forma com um fator de 2 e centro de dilatação de (1, 1). O ponto (2, 3) está a <+1, +2> longe do centro de (1, 1). Multiplicando <+1, +2> pelo fator de escala de 2 resulta <+2, +4>. O novo ponto será <+2, +4> longe do centro (1, 1) em (4, 7).
Mais alguns exemplos
Aqui está outro exemplo para nos ajudar a analisar isso. Dilate o quadrado com os vértices de (1, 3), (3, 3), (1, 5) e (3, 5) usando um fator de escala de 2 e centro de dilatação de (1, 1). Os vértices estão (0, 2), (2, 2), (0, 4) e (2, 4) longe do centro de dilatação. Multiplicando pelo fator de escala de 2 resulta (0, 4), (4, 4), (0, 8) e (4, 8). É a distância que os novos pontos estão do centro de dilatação. Adicionando (1, 1) a eles resulta (1, 5), (5, 5), (1, 9) e (5, 9).
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O quadrado dilatado possui os vértices (1, 5), (5, 5), (1, 9) e (5, 9).
Aqui está nosso segundo exemplo que podemos examinar. Dilate o triângulo com os vértices de (2, 2), (4, 6) e (6, 2); um fator de escala de 1/2, com a origem como o centro de dilatação. Como o centro de dilatação é (0, 0), você pode simplesmente dividir todos os números por 2.
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O triângulo dilatado tem vértices em (1, 1), (2, 3) e (3, 1)
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos. Uma dilatação é a transformação de uma forma que mantém a orientação da forma, mas altera o tamanho. É uma forma de transformação , que é o reposicionamento de uma forma. Existem três outras formas de transformação, que incluem reflexão , que é quando uma forma é refletida através de uma linha; rotação , que é quando uma forma foi girada; e translação , que ocorre quando uma forma foi movida (deslizada) sem alterar a orientação da forma.
Para dilatar uma forma, você precisará saber o fator de escala ou a quantidade que deseja alterar em uma forma. O fator de escala é sempre uma medida de multiplicação. Você também precisará saber de que ponto ele está sendo dilatado, chamado de centro de dilatação . Este será na origem, ou (0, 0) em uma grade de coordenadas, a menos que indicado de outra forma. A área será o fator de escala ao quadrado, enquanto o volume, se aplicável, será o fator de escala ao quadrado.