Matemática

Propriedade de Produto Zero: Definição e Exemplos

Definição

Qual é a propriedade do produto zero ? Sejam A e B números reais ou expressões algébricas. Se o produto de A e B for zero, então A = 0 ou B = 0. Também é possível que A e B sejam zero. Uma expressão algébrica é qualquer expressão que envolva variáveis. Por exemplo, y , xy , x + 3 e x ^ 2 + 9 são todos exemplos de expressões algébricas.

Multiplicando por Zero

É importante entender que o produto de qualquer número multiplicado por zero é igual a zero. Digamos que Melanie tenha uma barraca de limonada e esteja vendendo copos de limonada a US $ 0,25 cada. Chove inesperadamente, então nenhum cliente passa no estande. Em outras palavras, Melanie vende zero copos de limonada. Quanto dinheiro ela trouxe? Ela não coletou dinheiro, então suas vendas são $ 0,25 x 0 = $ 0,00.

Forma padrão de uma equação

Existem muitos formulários padrão para equações. Geralmente é baseado no tipo de equação. Para esta lição, será útil expressar equações de forma que zero seja o valor de um lado da equação:

expressão = 0

Digamos que você tenha x ^ 2 + 2 x = 24. Se quisermos que um lado da equação seja igual a zero, podemos subtrair 24 de ambos os lados. Isso nos dá x ^ 2 + 2 x – 24 = 0.

Aplicação da Propriedade do Produto Zero

Considere a equação 7 x = 0. Com base na propriedade do produto zero, 7 = 0 ou x = 0. Sabe-se que 7 não pode ser igual a zero, portanto, x deve ser igual a zero.

Agora olhe para a equação xyz = 0. Embora existam três variáveis, você pode separar a expressão no lado esquerdo da equação em duas expressões. Você pode ter ( xy ) z = 0. Agora você tem duas expressões: xy e z . Com base na propriedade de produto zero, xy = 0 ou z = 0. Usando a propriedade comutativa, podemos separar a expressão original em qualquer combinação de duas expressões, mas a propriedade de produto zero ainda se aplicará.

A propriedade do produto zero e as equações quadráticas

A propriedade de produto zero é muito útil ao encontrar soluções para equações quadráticas que podem ser fatoradas.

Exemplo 1

Tome a equação y ^ 2 + 5 y = 0. Se fatorar um y , você começa y ( y + 5) = 0. As duas expressões aqui são y e y + 5. Pelo menos uma das expressões deve ser igual a zero, . Em outras palavras, y = 0 ou y + 5 = 0. Você precisa resolver cada equação para y . Então você tem:

y = 0

ou

y + 5 = 0; y = -5

Os valores possíveis de y são 0 e -5.

Exemplo 2

Volte para a equação quadrática: x ^ 2 + 2 x – 24 = 0. Se você fatorar esta equação quadrática, você obtém ( x + 6) ( x – 4) = 0. Você agora tem o produto de duas expressões iguais zero. As duas expressões ou fatores são ( x + 6) e ( x – 4). Pela propriedade de produto zero, pelo menos uma das expressões é igual a zero. Você precisa resolver cada equação para x :

x + 6 = 0; x = -6

ou

x – 4 = 0; x = 4

Os valores possíveis de x são -6 e 4.

Resumo da lição

Não pense demais na propriedade do produto zero. Zero de qualquer coisa não dá nada, exceto uma expressão ou símbolo numérico que representa zero. Se o produto de duas expressões for igual a zero, pelo menos uma das expressões deve ser zero.