Introdução: PEMDAS
Tenho certeza que agora você já ouviu a expressão, ‘ P lease E xcuse M y D ouvido A UNT S aliado’ para descrever as regras para a ordem das operações. Este mnemônico bobo foi criado para nos ajudar a lembrar de fazer parênteses primeiro, seguido por expoentes, multiplicação e divisão da esquerda para a direita e, finalmente, adição e subtração da esquerda para a direita.
Nesta lição, será mais importante para nós olhar para a primeira parte de nosso mnemônico, os parênteses. Sabemos que sempre que vemos um conjunto de parênteses em um problema, ele grita: ‘FAÇA-ME PRIMEIRO.’ Portanto, é necessário observar que podemos adicionar parênteses ao redor de qualquer parte de um problema para dizer às pessoas que ele deve ser concluído primeiro, independentemente das operações dentro delas.
Agora, você provavelmente está se perguntando por que acabamos de falar sobre a ordem das operações quando esta lição deveria ser sobre a propriedade associativa da multiplicação. Mas tenha paciência comigo e eu prometo que você verá nas próximas seções porque é importante para nós ter uma compreensão clara dos parênteses para compreender verdadeiramente o uso da propriedade associativa da multiplicação.
Definição e regra
A propriedade associativa da multiplicação afirma que, ao realizar um problema de multiplicação com mais de dois números, não importa quais números você multiplica primeiro.
Em outras palavras, ( a x b ) x c = a x ( b x c ).
Portanto, não importa onde colocarmos nosso conjunto de parênteses, ainda obteremos a mesma resposta. Agora você vê por que falamos sobre parênteses no início desta lição?
Deixe-me adivinhar. Você provavelmente está começando a se perguntar por que ainda precisa colocar parênteses no problema, certo? Por que não simplesmente fazer a multiplicação da esquerda para a direita? Qual é o sentido de adicionar mais uma propriedade para lembrar?
Você pode não acreditar em mim ainda, mas a resposta é simples. A propriedade associativa da multiplicação torna a multiplicação de cadeias de números mais longas mais fácil do que simplesmente fazer a multiplicação como está.
Exemplo: como funciona?
Vejamos o problema da multiplicação: 6 x 4 x 5
Solução # 1: resolvendo o problema da esquerda para a direita, começaríamos multiplicando 6 x 4 = 24 e, em seguida, multiplicando 24 por 5 para obter uma resposta final de 120.
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Se você for como eu, provavelmente demorou um minuto para fazer as contas de 24 x 5, porque não é um problema de multiplicação simples e requer um pouco mais de reflexão.
Agora, vamos examinar o mesmo problema usando a propriedade associativa da multiplicação. Lembre-se de que a propriedade associativa significa apenas que podemos adicionar parênteses em torno de quaisquer dois números para reagrupar o que multiplicamos primeiro.
Solução # 2: usando a propriedade associativa, vou reagrupar o problema de forma que multiplique 4 x 5 primeiro. Nosso novo problema seria então 6 x (4 x 5).
Olhe atentamente; não mudamos nada sobre os números ou as operações. Simplesmente adicionamos parênteses em torno de 4 x 5 para dizer que isso é o que faremos primeiro.
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Agora, resolvendo o problema, 6 x (4 x 5), vamos começar com 4 x 5 = 20 por causa de nossos parênteses e depois multiplicar 20 por 6 para obter nossa resposta final de 120.
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Em ambas as soluções, obtivemos exatamente a mesma resposta de 120. Isso prova que nossa propriedade associativa de multiplicação funciona!
Então, por que escolhi multiplicar 4 x 5 primeiro, em vez de apenas trabalhar o problema da esquerda para a direita? Reveja nossa primeira solução. Nesse caso, demorou um pouco mais para multiplicar 24 x 5. No entanto, ao fazer 4 x 5 primeiro, como em nossa segunda solução, tornamos muito mais simples multiplicar 20 x 6 para chegar à nossa resposta final de 120.
Notas laterais
Há duas coisas que é importante entender ao usar essa propriedade.
A primeira é nossa regra de zeros. Quando você multiplica um número por outro número que termina em zero (s), no caso do nosso exemplo, 20 x 6, você pode retirar o (s) zero (s), fazer a multiplicação e depois adicionar o (s) zero (s) de volta em. Portanto, para 20 x 6, deixaríamos de lado o zero tornando o problema 2 x 6 = 12 e, em seguida, adicionaríamos o zero de volta para obter uma resposta de 120. Matemática mental rápida e fácil!
Também é importante entender que, embora essa propriedade também funcione para adição, ela NÃO funcionará para subtração ou divisão.
Resumo da lição
Nesta lição, aprendemos que a propriedade associativa da multiplicação é apenas uma maneira elegante de dizer que não importa quais dois números você multiplica primeiro em um problema de várias etapas. Quer você multiplique da esquerda para a direita ou escolha outro agrupamento que simplifique a quantidade de trabalho que você faz, você deve SEMPRE obter a mesma resposta. Então, por que não usar essa propriedade e tornar seu trabalho matemático um pouco mais fácil?