O que é um vetor?
A palavra vetor tem muitos significados diferentes em inglês, mas em matemática e física, um vetor se refere a algo muito específico. Nesses campos, um vetor é uma representação matemática de uma quantidade física que possui uma magnitude e uma direção, conforme indicado pelas setas. Ele também pode ser dividido em componentes que mostram quanto do vetor existe em cada direção.
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Como você pode ver, um vetor pode ter componentes em três dimensões: sub x, sub y e sub z representam os componentes x, y e z do vetor a . Então, que tipos de quantidades podem ser representadas por vetores? Embora existam muitos, o mais fácil de entender é a posição mais provável. Um vetor de posição é um vetor que informa onde um objeto está localizado em relação a alguma origem.
Por exemplo, digamos que a casa de John fica a 5 milhas da casa de Anna. No entanto, isso não diz a Anna exatamente onde sua casa está localizada. Para realmente encontrar sua casa, Anna precisa saber tanto sua magnitude, ou quão longe ela está, quanto sua direção, neste caso, 40 graus ao norte do leste.
Multiplicação vetorial
Existem duas maneiras de multiplicar vetores, que levam ao produto vetorial. Um produto vetorial informa qual parte de um vetor é perpendicular ao outro vetor.
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Aqui, o produto cruzado de vectores de um e b é um outro perpendicular ao vector tanto um e b . Se você sabe a magnitude do vector um e vector b , você pode encontrar a magnitude do produto cruzado multiplicando a magnitude de um , a magnitude do b e o seno do ângulo entre eles.
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Esta equação fornecerá a magnitude do vetor de produto vetorial, mas espere! Lembre-se de que os vetores sempre têm uma magnitude e uma direção. Como encontramos a direção? Para isso, precisamos da regra da mão direita.
Para usar a regra da mão direita , primeiro você precisa erguer a mão direita. Certifique-se de que não é a sua esquerda ou não funcionará! Segure o dedo indicador, o dedo médio e o polegar de forma que fiquem perpendiculares entre si, como um sistema de coordenadas x , y e z . Agora, gire sua mão de forma que seu dedo indicador aponte na direção do vetor a e seu dedo médio aponte na direção do vetor b . Seu polegar apontará na direção do produto vetorial a x b .
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Tenha cuidado ao calcular um produto vetorial porque é fácil misturar os vetores. No entanto, a ordem é importante: a x b não é igual a b x a .
Aplicações do produto cruzado
Uma aplicação importante do produto vetorial é no cálculo do torque. Torque é a tendência de uma força fazer com que um objeto gire. Quando você empurra a ponta de uma chave inglesa, está aplicando torque para fazê-la girar. Apenas a parte da força perpendicular à chave criará torque e, lembre-se, é exatamente isso que o produto vetorial diz a você!
O torque é calculado encontrando o produto vetorial do vetor de posição do ponto de rotação até onde a força é aplicada, um vetor conhecido como braço de momento ( r ) e vetor de força ( F ).
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Vamos supor que r = 0,50 m, F = 25 N e o ângulo entre r e F é de 50 graus. Quanto torque é exercido pela força?
Primeiro, encontre a magnitude do torque:
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Isso indica que a magnitude do torque é de 9,6 Nm.
Agora, e quanto à direção? Vamos usar a regra da mão direita. Levante a mão direita e aponte o dedo indicador na direção de r . Agora gire sua mão para que pontos seu dedo médio na direção F . Para qual direção seu polegar aponta? Se você aplicou a regra da mão direita corretamente, ela deve estar apontando para fora da tela e indicar um torque positivo ou a força que fará com que a chave gire no sentido anti-horário.
Os produtos cruzados também podem ser usados de muitas outras maneiras, como para calcular a força magnética em uma carga elétrica em movimento e o momento angular de um objeto em rotação. Não importa qual seja a situação específica, um produto vetorial é sempre calculado da mesma maneira e sempre será outro vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Resumo da lição
Um vetor é uma quantidade matemática que possui magnitude e direção. Um vetor de posição é um vetor que informa onde um objeto está localizado em relação a alguma origem. O produto vetorial é uma maneira de multiplicar dois vetores que informam quanto de um vetor é perpendicular ao outro. O produto vetorial sempre será outro vetor perpendicular a ambos os vetores originais. A direção do produto vetorial é encontrada usando a regra da mão direita , enquanto a magnitude do produto vetorial é dada por:
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Torque é a tendência de uma força fazer com que um objeto gire. Quando você empurra a ponta de uma chave inglesa, está aplicando torque para fazê-la girar. É calculado encontrando o produto vetorial do vetor de posição do ponto de rotação até onde a força é aplicada; um vetor conhecido como braço de momento ( r ) e vetor de força ( F ).