Definição
O princípio fundamental da contagem é uma regra matemática que permite encontrar o número de maneiras pelas quais uma combinação de eventos pode ocorrer. Por exemplo, se o primeiro evento pode ocorrer de 3 maneiras, o segundo evento pode ocorrer de 4 maneiras e o terceiro evento pode ocorrer de 5 maneiras, então você pode descobrir o número de combinações únicas multiplicando: 3 * 4 * 5 = 60 único combinações.
Imagine que você tem uma empresa de costura de gravatas. Você pode fazer laços exclusivos alterando qualquer um dos seguintes fatores: cor (5 opções) e forma (3 opções). Quantas gravatas exclusivas você pode fazer? Uma maneira de pensar sobre isso é fazendo um diagrama. Existem 5 cores. Cada uma das 5 cores pode ser dividida em 3 formas – azul com 3 opções de forma, vermelho com 3 opções de forma, etc.
Ao multiplicar, você obtém o número total de caminhos que você pode seguir no diagrama. Você pode fazer 15 tipos diferentes de laços (5 * 3).
Agora, suponha que você também adicione 3 opções de padrão às opções de gravata: listrada, sólida ou bolinhas. Quantas gravatas você consegue fazer agora? Simplesmente imagine uma das possibilidades que você tinha originalmente – talvez uma gravata verde curta e larga. Essa gravata curta verde agora pode ser feita de três maneiras: listrada, sólida ou de bolinhas. O mesmo é verdade para os outros 14 laços originais. Então, agora você tem 15 * 3 = 45 tipos diferentes de laços.
Este método de multiplicação funciona sempre que você tiver vários fatores (cor, forma e design) e cada um desses fatores pode ser combinado entre si de qualquer maneira possível. Você pode usar a regra de contagem fundamental (multiplicação) sempre que tiver um conjunto de categorias e uma das várias opções em cada categoria será selecionada. Você pode pensar nisso como tendo vários ‘espaços’ vazios para preencher. Cada ‘slot’ recebe apenas um item.
Alguns exemplos
Suponha que os slots representem os pratos de uma refeição que você vai pedir. Se houver 6 pratos, você poderá ter 3 opções de aperitivos, 2 opções de sopa e 4 opções de saladas, junto com 5 opções de prato principal, 10 opções de bebidas e 3 opções de sobremesa. Para descobrir quantas refeições de 6 pratos exclusivos você pode fazer, preencha os espaços em branco com o número de opções e multiplique:
3 * 2 * 4 * 5 * 10 * 3 = 3.600 refeições únicas possíveis
Outra situação pode ser a criação de placas. Novamente, você tem 6 vagas para preencher. Desta vez, os primeiros dois slots devem ser letras (26 opções) e os 4 slots restantes devem ser números (10 escolhas cada). Se você preencher os 6 ‘slots’ com o número de opções e multiplicar, obterá o número de placas que pode fazer:
26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 6.760.000 placas de veículos
A regra de contagem fundamental e expoentes
Se você tiver repetições, o mesmo número de opções em vários slots, será um pouco mais conciso usar expoentes. A multiplicação da placa pode ser reescrita como:
26 ^ 2 * 10 ^ 4
Essa simplificação é particularmente útil se cada slot tiver o mesmo número de opções. Por exemplo, suponha que você esteja criando números de telefone de 7 dígitos e possa usar qualquer um dos dez dígitos (0 a 9) em cada slot. Você obtém 10 à 7ª possibilidade de poder.
A regra de contagem fundamental e fatoriais
Outra simplificação acontece se cada slot tiver uma escolha a menos que o slot anterior. Por exemplo, suponha que você tenha 10 livros e deseja organizá-los em sua estante. Você pega um livro aleatoriamente e o coloca primeiro. O primeiro ‘slot’ tem 10 opções de livro. Mas agora que você escolheu 1 livro, você só tem 9 para escolher o segundo espaço. Para o terceiro slot, você tem apenas 8 e assim por diante até que você tenha apenas 1 livro restante.
As várias maneiras de organizar seus livros são:
10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Isso pode ser representado como 10! O ponto de exclamação é um símbolo matemático denominado fatorial . Significa pegar o número na frente dele e multiplicá-lo pelo próximo número mais baixo, depois pelo próximo número abaixo dele e assim por diante até chegar a 1.
Resumo da lição
O princípio fundamental de contagem é simplesmente uma maneira de contar o número de combinações que você pode criar ao fazer várias escolhas em uma linha. Nos casos em que você repetiu valores, pode ser mais fácil usar expoentes. Os fatoriais também são úteis quando você está multiplicando um conjunto de números que começa em 1 e aumenta por 1 em cada ‘slot’.
Resumo da lição
O uso do princípio fundamental da contagem permitirá que você encontre o número de maneiras exclusivas pelas quais uma combinação de eventos pode ocorrer, simplesmente multiplicando o número de opções para cada evento. Se você tiver o mesmo número de opções em vários slots, também poderá usar expoentes. Os fatoriais ajudam se cada slot tiver uma escolha a menos que o slot anterior.
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Resultados de Aprendizagem
Depois de revisar esta lição, você deve ser capaz de
- Aplicar o princípio fundamental de contagem em situações aplicáveis
- Use expoentes para simplificar os cálculos
- Calcule corretamente se você vir um fatorial após um número