Congruência e similaridade
Johanna gosta de costurar e decide fazer alguns vestidos para as amigas. Uma amiga é muito pequena e a outra é muito alta, então ela não pode usar o mesmo padrão para os dois vestidos. Ela compra dois tamanhos diferentes de estampas para o vestido e quando olha lado a lado os vestidos acabados, vê algo muito interessante.
Os dois vestidos têm exatamente o mesmo formato, mas um é maior que o outro. Embora Johanna possa não ter percebido, sua observação sobre a semelhança das formas dos vestidos que ela fez revela uma relação geométrica real entre os dois vestidos. Na geometria, se duas figuras são semelhantes , têm a mesma forma, mas são de tamanhos diferentes, assim como esses dois vestidos.
Além de serem semelhantes, duas figuras também podem ser congruentes, mas nem todas as formas semelhantes são congruentes também. Para que as formas sejam congruentes e semelhantes, elas devem ter não apenas a mesma forma, mas também o mesmo tamanho. Se Johanna fizesse vários vestidos em tamanhos pequenos, diríamos que todos esses vestidos eram congruentes.
Triângulos congruentes
Embora possamos olhar para os vestidos e ver que são semelhantes, isso não constitui uma prova matemática. Então, como você pode provar que duas formas são congruentes ou semelhantes? Vamos usar um triângulo, uma forma geométrica comum, para ilustrar as relações entre formas semelhantes e congruentes. Primeiro, veremos algumas maneiras de provar que dois triângulos são congruentes. Lembre-se de que as formas congruentes terão exatamente o mesmo tamanho e formato.
Existem várias maneiras de provar que os triângulos são congruentes. Uma maneira é comparar cada um dos três lados de um triângulo, conhecido como prova do lado lateral (SSS) . Dois triângulos são congruentes se cada lado do primeiro triângulo for congruente (igual) a um lado do segundo triângulo.
Nossa segunda prova é conhecida como lado do ângulo lateral (SAS) . Dois triângulos são congruentes se dois lados em um triângulo e o ângulo entre eles são congruentes com os mesmos lados e ângulo no segundo triângulo.
Com a prova do ângulo do lado do ângulo (AAS) , vemos que dois triângulos são congruentes se dois ângulos e um lado (um que não está entre os ângulos) no primeiro triângulo são congruentes com os mesmos ângulos e lados no segundo triângulo.
Também podemos olhar para um lado entre dois ângulos. Com o ângulo do lado do ângulo (ASA) , sabemos que dois triângulos são congruentes se dois ângulos e o lado entre eles são congruentes com os mesmos ângulos e lado incluído no segundo triângulo.
Se você puder mostrar que qualquer uma dessas opções é verdadeira, então você sabe que os triângulos são congruentes.
Que tal dois triângulos com as mesmas medidas de ângulo? Eles também são congruentes? Eles podem ser, mas apenas saber as medidas dos ângulos dos triângulos não é suficiente para provar que os triângulos são congruentes. Triângulos semelhantes também têm medidas de ângulos iguais, mas os lados podem ter comprimentos diferentes.
Triângulos semelhantes
Agora que sabemos como provar a congruência, vamos examinar as maneiras de provar a similaridade entre duas formas. O teste para triângulos semelhantes é um pouco mais simples. Triângulos semelhantes têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes, então a única coisa que você precisa provar para mostrar que dois triângulos são semelhantes é que os ângulos do primeiro triângulo são iguais aos ângulos do segundo triângulo. Os comprimentos laterais podem ser diferentes e os triângulos ainda serão semelhantes.
Os comprimentos laterais em triângulos semelhantes serão proporcionais uns aos outros, no entanto, mesmo quando não tiverem o mesmo comprimento. Olhe para esses dois triângulos semelhantes e veja se você pode determinar o comprimento do lado desconhecido:
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Como os triângulos são semelhantes, você sabe que os comprimentos dos lados são proporcionais. Isso significa que você pode definir uma proporção de comprimentos de lado para encontrar o comprimento do lado desconhecido.
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Agora, você pode cruzar e multiplicar para resolver o lado desconhecido.
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Você pode usar um processo semelhante para encontrar os comprimentos laterais de quaisquer dois triângulos semelhantes.
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Resumo da lição
Em geometria, se duas figuras são semelhantes , têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes. Os triângulos semelhantes terão as mesmas medidas angulares, mas podem ter lados com comprimentos diferentes. Os comprimentos laterais de dois triângulos semelhantes são diretamente proporcionais um ao outro, portanto, você pode construir uma proporção dos comprimentos laterais para encontrar qualquer um que não seja conhecido. As formas congruentes não são apenas da mesma forma, mas também do mesmo tamanho. Os triângulos congruentes (e outras formas congruentes) têm as mesmas medidas angulares, assim como os triângulos semelhantes, mas também têm os mesmos comprimentos laterais. Existem quatro maneiras de provar que dois triângulos são congruentes:
- Lado-lado-lado (SSS) : Dois triângulos são congruentes se cada lado no primeiro triângulo for congruente (igual) a um lado no segundo triângulo.
- Lado do ângulo lateral (SAS) : Dois triângulos são congruentes se dois lados em um triângulo e o ângulo entre eles são congruentes com os mesmos lados e ângulo no segundo triângulo.
- Lado do ângulo angular (AAS) : Dois triângulos são congruentes se dois ângulos e um lado (que não está entre os ângulos) no primeiro triângulo são congruentes com os mesmos ângulos e lados no segundo triângulo.
- Ângulo do lado do ângulo (ASA) : Dois triângulos são congruentes se dois ângulos e o lado entre eles são congruentes com os mesmos ângulos e lado incluído no segundo triângulo.