Números Racionais e o Plano de Coordenadas
René Descartes foi um matemático francês que recebeu crédito pela descoberta do plano de coordenadas moderno. Mas você sabia que ele não fez isso sozinho? Surpreendentemente, dizem que a outra parte responsável por essa descoberta era na verdade uma mosca!
Veja, um dia Descartes estava deitado na cama quando viu uma mosca andando no teto. Ele percebeu que se ele deixasse as bordas onde o teto encontra as paredes fossem duas retas numéricas, e o canto onde elas se encontram fosse 0 em cada uma das retas numéricas, ele poderia representar o paradeiro da mosca usando um ponto ( a , b ), onde um e b são números racionais, e um é a localização do ponto ao longo da linha horizontal número, e b é a localização do ponto ao longo da linha número vertical. Ta-da! O plano de coordenadas foi criado.
Tecnicamente, o plano de coordenadas pode ser descrito como duas retas numéricas que se cruzam em 0, perpendiculares uma à outra. A reta numérica horizontal é chamada de eixo x e a reta numérica vertical é chamada de eixo y .
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Ok, então Descartes fez a maior parte do trabalho, mas aquela pequena mosca definitivamente desempenhou um papel!
Como dissemos, os pontos no plano de coordenadas são representados como ( a , b ), onde a e b são números racionais. Os números racionais são números que podem ser escritos como uma fração, p / q , onde p e q são inteiros. Chamamos a a coordenada x do ponto e chamamos b a coordenada y do ponto.
Como você provavelmente sabe, a linha número é preenchido com números racionais, e desde que o x e y eixos são linhas numéricas, faz sentido que pode representar graficamente pontos com coordenadas racionais sobre o plano de coordenadas. Vamos dar uma olhada em como fazer isso!
Pontos de representação gráfica com coordenadas de números racionais
As etapas que tomamos para representar graficamente ( a , b ), onde a e b são racionais, no plano de coordenadas são as seguintes:
- Localize a no eixo x .
- De a no eixo x , se b for positivo, mova unidades de b para cima e, se b for negativo, mova unidades de b para baixo .
- O local deve agora alinham para um no x -axis e b na y -axis, então tiramos um ponto no local. Este é o ponto ( a , b ).
Isso não parece tão difícil! Vamos tentar!
Suponha que colocamos a cidade de Cheri em um plano de coordenadas de modo que a casa dela esteja no ponto (0,0). O supermercado mais próximo está localizado no ponto (1/2, -4). Vamos traçar a localização do supermercado.
Primeiro, localizamos 1/2 no eixo x .
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A seguir, notamos que a coordenada y é negativa. Portanto, de 1/2 no eixo x , movemos 4 unidades para baixo, de modo que estamos alinhados com -4 no eixo y . Vemos que este ponto se alinha com 1/2 no eixo xe -4 no eixo y , então ele representa o ponto (1/2, -4). Esta é a localização do supermercado.
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Vamos dar uma olhada em um aplicativo que fica um pouco mais complexo.
Inscrição
Suponha que Cheri decida sair para um passeio de bicicleta. Ela cavalga meio quilômetro diretamente para o leste de sua casa e, de lá, ela cavalga 2 quilômetros diretamente para o norte, terminando no parque da cidade. Qual é o ponto que representa a localização do parque da cidade?
De sua casa, ela cavalgou meio quilômetro diretamente para o leste, então precisamos nos mover meio quilômetro na direção positiva no eixo x . De lá, ela pedalou 2 quilômetros diretamente para o norte até o parque, ou seja, 2 quilômetros na direção positiva no eixo y . Isso coloca o parque em 1/2 no eixo xe 2 no eixo y , então o ponto que representa a localização do parque da cidade é (1/2, 2).
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Ao chegar ao parque, Cheri percebe que precisa comprar leite no supermercado. Ela se pergunta a distância entre o parque e o supermercado. Para descobrir isso, ela observa que o parque e o supermercado estão ao longo da mesma linha vertical porque têm a mesma coordenada x de 1/2. Portanto, tudo o que ela precisa fazer para calcular a distância do parque ao supermercado é o número de unidades entre 2 e -4.
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Vemos no gráfico que existem 6 unidades entre o parque e o armazém, portanto é um passeio de 6 quilômetros.
Em geral, quando queremos encontrar a distância entre dois pontos que têm as mesmas primeiras coordenadas ou as mesmas segundas coordenadas, podemos fazê-lo encontrando o valor absoluto da diferença das coordenadas que não são as mesmas.
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Novamente, considere o parque e a mercearia. Eles têm as mesmas coordenadas x , portanto, para encontrar a distância entre eles, encontramos o valor absoluto da diferença de suas coordenadas y (2 e -4).
- Distância = | 2 – (-4) | = | 2 + 4 | = | 6 | = 6
Como esperado, vemos que a distância do parque ao supermercado é de 6 quilômetros, então a fórmula funciona!
Resumo da lição
O plano de coordenadas consiste em duas linhas numéricas desenhadas perpendicularmente uma à outra e se cruzando em 0 em ambas. A reta numérica horizontal é chamada de eixo x , e a reta numérica vertical é chamada de eixo y .
Podemos gráfico, ou localizar, um ponto, ( um , b ), onde um e b são números racionais, no plano de coordenadas, localizando um sobre o x -axis, e, em seguida, se deslocam para cima b unidades, se b é positivo ou para baixo b unidades se b for negativo.
Ser capaz de representar graficamente pontos com coordenadas numéricas racionais e resolver problemas envolvendo esses pontos é extremamente útil em aplicações do mundo real, então continue praticando, e da próxima vez que você vir moscas em seu teto, certifique-se de agradecer por sua ajuda na descoberta o plano de coordenadas!