Pontos Cíclicos
Suponha que você esteja em um parque e haja três atrações que deseja ver. Se você colocar o mapa do parque em uma grade e deixar seu ponto de partida (o estacionamento) no ponto (0,0), então seu ponto de partida e as atrações cairão nos seguintes pontos:
(0,0) (1, -2) (4, -4) (9,6)
Está um dia lindo, então você quer saber se é possível fazer um caminho circular mais longo que irá visitar todas as atrações ao invés de ir direto para cada uma delas. Em outras palavras, você quer saber se há um círculo onde todos os quatro pontos estão.
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Em matemática, chamamos pontos que se encontram no mesmo círculo e, portanto, estão à mesma distância do centro do círculo, pontos concíclicos . Portanto, matematicamente falando, queremos saber se os pontos (0,0), (1, -2), (4, -4) e (9,6) são pontos concíclicos. Vamos explorar!
Provando pontos concíclicos
Provar que um determinado conjunto de pontos é concíclico parece mais difícil do que realmente é, dependendo de quantos pontos existem no conjunto. Temos alguns teoremas realmente interessantes para nos ajudar a determinar se um conjunto de 2, 3 ou 4 pontos é concíclico.
É muito fácil determinar que quaisquer dois pontos são concíclicos. Para ilustrar isso, considere o fato de que, se desenharmos uma linha entre dois pontos quaisquer, essa linha pode ter o diâmetro de um círculo e ambas as extremidades estariam em um círculo. Portanto, quaisquer dois pontos são concíclicos.
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Quando se trata de um conjunto de três pontos, temos um bom teorema que nos permite determinar (ou provar) se os três pontos são concíclicos ou não. Esse teorema afirma o seguinte:
- Teorema: Quaisquer três pontos que sejam não colineares (o que significa que eles não estão na mesma linha) são concíclicos.
Isso ocorre porque, se conectarmos quaisquer três pontos não colineares com segmentos de linha, formamos um triângulo e todos os triângulos podem ser inscritos em um círculo.
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Portanto, dado um conjunto de 3 pontos, podemos provar que eles são concíclicos determinando que nem todos estão na mesma linha.
Isso é ótimo até agora, mas o que mais nos interessa são nossos quatro pontos no parque e se eles são concíclicos ou não. Felizmente, um escritor e matemático grego, Claudius Ptolomeu, criou um teorema que torna muito mais fácil provar que quatro pontos são concíclicos do que se poderia esperar.
- Teorema de Ptolomeu : Um quadrilátero pode ser desenhado em um círculo se e somente se o produto das medidas de suas diagonais forem iguais à soma dos produtos das medidas dos pares de lados opostos.
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Uma vez que quaisquer quatro pontos determinam um quadrilátero, podemos usar o Teorema de Ptolomeu para determinar, ou provar, que quaisquer quatro pontos são concíclicos por:
- Encontrar o produto dos comprimentos das diagonais do quadrilátero formado pelos pontos.
- Encontrar a soma dos produtos das medidas dos pares de lados opostos do quadrilátero formado pelos pontos.
- Se esses dois valores forem iguais, os pontos serão concíclicos. Se não forem iguais, então os pontos não são concíclicos.
Ótimo! Vamos descobrir se podemos aproveitar o dia com uma caminhada circular para visitar essas atrações do parque.
Exemplo
Primeiro, desenhamos nosso quadrilátero que nossos pontos formam.
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Para realizar as etapas um e dois, vamos precisar usar a fórmula da distância, que afirma que a distância entre os pontos ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) é dada pela fórmula:
d = √ (( x 2 – x 1 ) 2 + ( y 2 – y 1 ) 2 )
Notamos que as diagonais do quadrilátero têm pontos finais (1, -2), (9,6) e (0,0), (4, -4), então usamos a fórmula da distância para encontrar a distância entre cada um deles pares de pontos e multiplique essas distâncias para encontrar seu produto.
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Concluímos que o produto dos comprimentos das diagonais é 64. Vamos para a etapa 2!
Agora usamos a fórmula da distância para encontrar os comprimentos de cada um dos lados do quadrilátero, multiplicar os comprimentos dos lados opostos e encontrar a soma desses dois produtos.
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O que você sabe? Obtemos que a soma dos produtos dos comprimentos dos lados opostos também é igual a 64. Isso nos diz que o quadrilátero pode ser inscrito por um círculo, então os quatro pontos são concíclicos e você pode desfrutar de uma longa caminhada em uma circular caminho que percorre todas as atrações e termina no estacionamento.
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Resumo da lição
Os pontos concíclicos são pontos que estão no mesmo círculo. Podemos provar que um determinado conjunto de pontos é concíclico usando vários teoremas baseados em quantos pontos existem no conjunto.
- Dois pontos: qualquer conjunto de dois pontos é concíclico.
- Três pontos: qualquer conjunto de três pontos que não sejam colineares (não fiquem na mesma linha) são concíclicos.
- Quatro pontos: O Teorema de Ptolomeu afirma que um quadrilátero é inscrito em um círculo se e somente se o produto das medidas de suas diagonais for igual à soma dos produtos das medidas dos pares de lados opostos. Portanto, um conjunto de quatro pontos é concíclico se satisfizer as propriedades deste teorema.
Graças a esses teoremas, provar um conjunto de 2, 3 ou 4 pontos é bastante fácil, por isso é uma ótima ideia colocá-los na memória. Enquanto isso, aproveite seu lindo dia no parque!