Os polinômios de Pafnuty Chebyshev
Um extraordinário matemático russo do 19º, chamado Pafnuty Chebyshev, tinha uma maneira incomum de pensar sobre a relação entre a teoria matemática e as aplicações da ciência. Como estudantes de matemática, muitas vezes perguntamos » Para que serve isso? » Ou » Como essa matemática pode ser usada? » Em vez de ver os aplicativos como beneficiários da matemática elegante, Chebyshev teve uma ideia mais ampla. Ele veria uma aplicação maravilhosa e perguntaria se a matemática descrevia adequadamente a ciência. Na verdade, ele encontrou muitas de suas maiores descobertas matemáticas teóricas observando sistemas mecânicos (como motores a vapor). Quando a teoria matemática da época não conseguiu explicar adequadamente como um aplicativo funcionava, isso inspirou Chebyshev a criar uma teoria matemática melhor. É com base nessa mentalidade que ele estendeu a ideia de polinômios ortogonais a um conjunto de polinômios que agora levam seu nome. Avançando para o nosso tempo atual, encontramos o polinômio Chebyshev intimamente ligado a filtros digitais, redes correspondentes e outros sistemas de comunicação modernos. Pode haver um filtro Chebyshev em seu smartphone ou tablet!
Polinômios ortogonais
Decifrar uma palavra ajuda na compreensão. E quanto à palavra polinômio ? Se você aceitar a palavra nomial como sendo um único termo, como 1, x ou x 2 , um polinômio é » muitos » desses termos juntos, como 1 + x . Voltaremos à palavra » ortogonal » mais adiante nesta lição. Por enquanto, vamos examinar os polinômios de Chebyshev.
O grau de um polinômio é o maior expoente da variável em qualquer um dos termos.
O polinômio de grau zero Chebyshev, T o é:
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Quando x é elevado à potência 0, o grau é 0. E x 0 = 1.
A propósito, o nome de Chebyshev é traduzido com T em vez de C em alguns idiomas. É por isso que a letra » T » é usada para seus polinômios.
É fácil traçar T o :
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Este é o polinômio de Chebyshev de grau zero. Que tal um polinômio de primeiro grau? Certo, a maior potência de x em qualquer um dos termos será 1. O próximo exemplo é o polinômio de primeiro grau de Chebyshev:
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Vamos plotar T 1 e T o no mesmo gráfico.
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Uma boa propriedade dos polinômios de Chebyshev é que podemos gerar o restante dos polinômios de Chebyshev usando apenas esses dois primeiros. A equação que nos diz como fazer isso é chamada de equação de recursão . É uma maneira de obter o próximo polinômio de Chebyshev se conhecermos os dois anteriores. A equação de recursão de Chebyshev é, em palavras:
- Multiplique o polinômio atual por 2 x
- Deste resultado, subtraia o polinômio anterior
Por exemplo, para obter T 2
- Multiplique T 1 (que é x ) por 2 x resultando em 2 x 2
- De 2 x 2 subtraia T o
Portanto,
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Por favor, reserve um momento e tente calcular T 3 sozinho.
Como você fez? Para encontrar T 3 , tome 2 x vezes T 2 e subtraia T 1 .
Isso nos dá 2 x (2 x 2 – 1) – x, que se simplifica para:
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Traçando esses primeiros quatro polinômios de Chebyshev.
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Em vez de gerar e plotar mais e mais polinômios de Chebyshev, usaremos o que temos até agora para nos aprofundar em algumas propriedades fascinantes. Mas primeiro, vamos olhar para a maneira geral de escrever a recursão:
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T n +1 é o próximo polinômio de Chebyshev a ser encontrado. Os passos de recursão são multiplicar o atual, T n , por 2 x e subtrair o anterior, T n – 1 .
A propriedade ortogonal dos polinômios de Chebyshev
Como prometido, vamos nos aprofundar na palavra ortogonal . A palavra » orto » significa direto ou certo. Quando considerado junto com » gonal », estamos descrevendo duas linhas perpendiculares que formam um ângulo reto.
Um ângulo reto é um ângulo de 90 o . O cosseno de 90 o é zero. Este é o nosso teste de ortogonalidade. Meça o ângulo entre duas linhas, calcule o cosseno desse ângulo e, se obtivermos 0, as linhas são ortogonais.
Surpreendentemente, no século 19, já se sabia fazer um teste de ortogonalidade semelhante com polinômios. O teste:
- Multiplique dois polinômios juntamente com uma função de ponderação
- Integrar em algum intervalo pré-definido
- Se você obtiver 0, os polinômios são ortogonais
A função de ponderação para os polinômios de Chebyshev é 1 / √ (1 – x 2 ).
Se tomarmos quaisquer dois polinômios de Chebyshev, multiplicá-los juntos com a função de ponderação e, em seguida, integrar sobre os valores x = -1 a x = 1, obtemos zero. A demonstração dessa integração é melhor mostrada usando um gráfico.
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Agora, integramos:
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A área sob a curva é a integral. Acima do eixo x , a área é positiva. Abaixo do eixo x , a área é negativa.
Você vê como a adição de quantidades iguais de área positiva e negativa resulta em zero? Isso acontece quando integramos quaisquer dois polinômios Chebyshev diferentes de -1 a 1.
Esta propriedade dos polinômios de Chebyshev permite que eles sejam usados como uma » base ». Resumidamente, se temos um conjunto de polinômios que são uma base, podemos aproximar outras funções como uma soma ponderada desses polinômios base.
Essas idéias do século 19 foram posteriormente aplicadas para aproximar filtros ideais com filtros digitais. Hoje, temos um bom compartilhamento entre aplicações e teoria. Chebyshev realmente aprovaria.
Resumo da lição
Um nomial é um termo como 1, x e x 2 . Assim, um polinômio possui muitos termos. Nesta lição, exploramos duas propriedades dos polinômios de Chebyshev: recursão e ortogonalidade. Todos os polinômios de Chebyshev seguem dos dois primeiros polinômios de Chebyshev e uma equação de recursão . Análogos às linhas perpendiculares, os polinômios de Chebyshev são ortogonais .