Valores Complexos e Principais
Os números complexos podem ser expressos na forma retangular – Z ‘= a + b i – e na forma polar – Z = r e iθ . O raio r e o ângulo θ pode ser determinada a partir da um e o b de forma rectangular. Para multiplicar, dividir e elevar um número complexo a uma potência, a forma polar é preferida. Nesta lição, trabalharemos dois exemplos que mostram como elevar um número complexo a uma potência.
Exemplo 1
Encontre Z 4 para Z = -1 / √3 – i
Comparando com Z = a + bi , vemos a = -1 / √3 e b = -1. Este número complexo está na forma retangular.
Etapa 1: converta para a forma polar (se necessário).
Para converter para a forma polar, precisamos de r e θ. Usando a equação para r :
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Antes de encontrar θ vamos descobrir que quadrante em que estamos. Para tanto a e b negativo, estamos no terceiro quadrante. O ângulo θ é referenciado ao eixo real positivo horizontal, mas o ângulo α é o ângulo no triângulo retângulo formado pelos comprimentos de a e b .
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A tangente de α é o lado oposto ao lado adjacente; assim, tan α = | b | / | a |. Nota: um comprimento não pode ser negativo, então usamos sinais de valor absoluto para manter os números positivos. Usando a tangente inversa, tan -1 , podemos resolver para α:
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Podemos chegar ao mesmo local girando no sentido horário em relação ao eixo real. Nesse caso, θ é negativo.
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Assim, θ = -180 o + α = -180 o + 60 o = -120 o .
De Z = r e – i θ obtemos Z = (2 / √3) e – i 120 o .
O argumento de Z , abreviado arg Z , é o ângulo θ. Como -π <θ ≤ π, o valor do ângulo satisfaz o requisito do valor principal . Para manter argumentos únicos, a convenção é expressar o ângulo θ entre -π e π, onde π é 180 o . Como -π e π são o mesmo ângulo, o valor mais à esquerda para θ é estritamente menor que π, enquanto o valor mais à direita inclui θ = π. Quando o arg Z é o valor principal, usamos a designação Arg Z .
O raio r = 1,15 é ligeiramente maior que 1 e o ângulo θ = -120 o . No plano complexo, o ponto que localiza o número complexo Z está fora do círculo unitário (o círculo unitário é um círculo centrado na origem com raio r = 1):
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Etapa 2: Elevar à potência n .
Para n é 4, Z n é Z 4 :
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O raio r é elevado à 4ª potência e o ângulo θ é multiplicado por 4. Agora, 480 o é maior que 360 o , o que significa que o ponto girou totalmente em torno do círculo de volta ao ponto de partida. Para encontrar o ângulo equivalente menor que um círculo completo, continue subtraindo 360 o de 480 o até que o ângulo seja menor que um círculo completo 360 o . Neste exemplo, só precisamos subtrair uma vez.
– (480 o – 360 o ) = -120 o .
O raio r cresceu de 1,15 para 16/9 = 1,78.
Plotando Z e Z 4 no mesmo plano complexo:
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Etapa 3: Mude para o valor principal (se necessário).
Como θ = -120 o está dentro do intervalo -π a π, já atendemos ao requisito de valor principal. Portanto:
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Quando o r original é maior que 1, o raio do número complexo continuará a aumentar à medida que n aumenta. Um gráfico de Z n conforme n aumenta de 1 para 9 mostra uma espiral em expansão.
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Exemplo 2
Encontre Z 2 para Z = 0,9e i150 o .
Etapa 1: converta para a forma polar (se necessário).
Este número complexo já está na forma polar. O raio r = 0,9 e o ângulo θ = 150 o medido no sentido horário a partir do eixo real positivo.
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Etapa 2: Elevar à potência n .
Temos n = 2:
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Vemos que r agora é 0,81 e θ é 300 o .
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Etapa 3: Mude para o valor principal (se necessário).
O ângulo θ = 300 o está fora do intervalo -π a π para o valor principal. Em vez de girar 300 o no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo, podemos chegar ao mesmo local indo no sentido horário. Usando um ângulo negativo para θ, giramos 60 o no sentido horário. Como cálculo, θ = 300 o – 360 o = -60 o . Arg Z agora é um valor principal, pois -π <-60 o ≤ π. Portanto:
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Neste segundo exemplo, o r original é menor que 1. O raio diminuirá à medida que n aumenta. Um gráfico mostra a espiral interna.
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Nota: se r = 1, o caminho de Z n para aumentar n permanece no círculo unitário.
Resumo da lição
Um número complexo na forma polar é expresso com um raio re um ângulo θ. O ângulo θ também é chamado de argumento de Z (abreviado arg Z ). É desejável ter uma expressão única para o arg Z . Isso acontece quando -π <arg Z ≤ π. Neste intervalo, arg Z é dito ter um valor principal e é muitas vezes capitalizado como Arg Z . Quando o raio> 1, o caminho de Z n espirala para fora, enquanto para r <1, o caminho espirala para dentro. Para r = 1, o caminho de Z npermanece no círculo unitário que é o círculo centrado na origem com um raio = 1.