Definindo Parâmetros
A parametria envolve o uso de uma terceira variável, t, para reescrever uma única função, y = f (x), em duas equações separadas em termos de t, x (t) e y (t). Em problemas paramétricos, t é conhecido como o parâmetro , enquanto x (t) ey (t) são conhecidos como equações paramétricas .
Por que Parametria?
As equações paramétricas são vantajosas quando você está trabalhando com variáveis xey que não têm uma relação direta. Por exemplo, em física pode ser solicitado que você determine a distância que uma bola irá se for chutada a 15 m / s com um ângulo de 45 °. As distâncias verticais e horizontais máximas chegam a 25 e 17 metros, respectivamente. Em outras palavras, a bola viaja cerca de 1,5 vezes mais na vertical do que na horizontal. Portanto, não seria correto afirmar que y = 1,5x?
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Concluir que y = 1,5x implica que a razão pela qual a bola atinge 25 metros verticais é porque ela percorreu 17 metros horizontais, o que é incorreto. As distâncias horizontais e verticais percorridas não estão diretamente relacionadas. Eles estão indiretamente relacionados no sentido de que ambos dependem de 1) como a bola foi chutada e 2) quanto tempo a bola ficou no ar (uma terceira variável conhecida como t).
Os problemas físicos dependentes do tempo são uma aplicação tão comum dos paramétricos, que a letra t parecia a escolha mais natural de variável.
Tipos de curvas paramétricas
Os três tipos de curvas paramétricas que você provavelmente encontrará em seus estudos são:
- Elipses
- Círculos
- Parábolas
As equações paramétricas associadas a círculos e elipses são muito semelhantes; no entanto, as parábolas variam muito para generalizar (ver Tabela 1).
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Representação gráfica de equações paramétricas
Neste exemplo, veremos como as equações paramétricas nos fornecem uma oportunidade de descobrir detalhes importantes sobre um gráfico.
Exemplo: representação gráfica de uma elipse
Represente graficamente a curva paramétrica associada às seguintes equações:
x = -4cos (2t)
y = 3sin (2t)
O primeiro detalhe importante que podemos obter de nossas expressões paramétricas é a gama de valores necessários para criar uma curva completa. Uma elipse, como um círculo, mede 360 graus. Entradas maiores que 360 graus apenas levariam a um retrocesso do mesmo caminho. Se nossa entrada varia de 0 a 360 graus, então nosso parâmetro t neste problema, que está sendo multiplicado por 2, precisa abranger 0 a 180 graus (360 graus dividido por 2).
O segundo detalhe importante que você pode encontrar examinando as equações paramétricas de uma curva é algo chamado de direção do movimento. Para determinar a direção do movimento desta elipse, resolva cada equação paramétrica para o intervalo apropriado de t (Tabela 2) e, a seguir, plote. Observe que o parâmetro usado para calcular x e y não aparecerá realmente no gráfico.
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Conforme você plota os resultados da Tabela 2, observe que cada ponto subsequente requer um movimento no sentido horário conforme você avança para completar a elipse. A direção do movimento é, portanto, no sentido horário, o que foi indicado com uma seta direcional no Gráfico 1.
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Outro ponto interessante sobre este gráfico é que ele poderia ter sido gerado de várias maneiras diferentes com um pequeno ajuste em nossas equações originais (vamos chamá-las de V1). Para demonstrar, podemos comparar V1 com equações semelhantes fornecidas na Tabela 3.
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Se você fosse representar graficamente as equações V2, obteria o mesmo gráfico que V1; no entanto, isso exigiria o dobro do intervalo. Se você pensar no parâmetro como tempo, V2 traça o caminho elíptico pela metade da taxa de V1. Você pode confirmar que todos os três gráficos (V1, V2 e V3) têm a mesma aparência usando GraphSketch, um ótimo utilitário online para equações paramétricas.
O poder da parametria
Acabamos de ver duas vantagens de usar equações paramétricas, mas há mais uma a ser considerada. Em certos casos, as equações paramétricas são mais simples e menos confusas do que qualquer outro formato.
Pegue as equações paramétricas que acabamos de representar graficamente, por exemplo. Podemos converter para a equação retangular equivalente e comparar.
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A primeira equação em caixa é o equivalente retangular de nossas equações paramétricas. Você reconhece isso como uma elipse ou parece grego total?
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Se você for um assistente de trigonometria, você entende como pode simplificar a equação retangular para produzir a segunda equação em caixa. Caso contrário, use equações paramétricas e evite o incômodo extra.
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Para ver o poder dos paramétricos em ação, visite o site GraphSketch e digite o seguinte:
x (t) = cos (10t)
y (t) = sin (8t)
Você pode imaginar a equação retangular equivalente para este gráfico intrincado?
Resumo da lição
Nesta lição, aprendemos que paramétrica é o uso de uma terceira variável (um parâmetro chamado t) para criar duas equações independentes. As equações paramétricas são úteis quando duas variáveis (x, y) estão indiretamente relacionadas por uma terceira variável, como o tempo. O gráfico de equações paramétricas revelará mais do que apenas a forma de uma curva, mas também como o caminho foi percorrido (ou seja, direção e taxa). Você agora tem uma visão geral completa dos fundamentos da parametria; boa sorte no final do questionário da lição!