Matemática

Parametria: Definição e Equações

Definindo Parâmetros

A parametria envolve o uso de uma terceira variável, t, para reescrever uma única função, y = f (x), em duas equações separadas em termos de t, x (t) e y (t). Em problemas paramétricos, t é conhecido como o parâmetro , enquanto x (t) ey (t) são conhecidos como equações paramétricas .

Por que Parametria?

As equações paramétricas são vantajosas quando você está trabalhando com variáveis ​​xey que não têm uma relação direta. Por exemplo, em física pode ser solicitado que você determine a distância que uma bola irá se for chutada a 15 m / s com um ângulo de 45 °. As distâncias verticais e horizontais máximas chegam a 25 e 17 metros, respectivamente. Em outras palavras, a bola viaja cerca de 1,5 vezes mais na vertical do que na horizontal. Portanto, não seria correto afirmar que y = 1,5x?

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Concluir que y = 1,5x implica que a razão pela qual a bola atinge 25 metros verticais é porque ela percorreu 17 metros horizontais, o que é incorreto. As distâncias horizontais e verticais percorridas não estão diretamente relacionadas. Eles estão indiretamente relacionados no sentido de que ambos dependem de 1) como a bola foi chutada e 2) quanto tempo a bola ficou no ar (uma terceira variável conhecida como t).

Os problemas físicos dependentes do tempo são uma aplicação tão comum dos paramétricos, que a letra t parecia a escolha mais natural de variável.

Tipos de curvas paramétricas

Os três tipos de curvas paramétricas que você provavelmente encontrará em seus estudos são:

  • Elipses
  • Círculos
  • Parábolas

As equações paramétricas associadas a círculos e elipses são muito semelhantes; no entanto, as parábolas variam muito para generalizar (ver Tabela 1).


tabela 1
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Representação gráfica de equações paramétricas

Neste exemplo, veremos como as equações paramétricas nos fornecem uma oportunidade de descobrir detalhes importantes sobre um gráfico.

Exemplo: representação gráfica de uma elipse

Represente graficamente a curva paramétrica associada às seguintes equações:

x = -4cos (2t)

y = 3sin (2t)

O primeiro detalhe importante que podemos obter de nossas expressões paramétricas é a gama de valores necessários para criar uma curva completa. Uma elipse, como um círculo, mede 360 ​​graus. Entradas maiores que 360 ​​graus apenas levariam a um retrocesso do mesmo caminho. Se nossa entrada varia de 0 a 360 graus, então nosso parâmetro t neste problema, que está sendo multiplicado por 2, precisa abranger 0 a 180 graus (360 graus dividido por 2).

O segundo detalhe importante que você pode encontrar examinando as equações paramétricas de uma curva é algo chamado de direção do movimento. Para determinar a direção do movimento desta elipse, resolva cada equação paramétrica para o intervalo apropriado de t (Tabela 2) e, a seguir, plote. Observe que o parâmetro usado para calcular x e y não aparecerá realmente no gráfico.


mesa 2
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Conforme você plota os resultados da Tabela 2, observe que cada ponto subsequente requer um movimento no sentido horário conforme você avança para completar a elipse. A direção do movimento é, portanto, no sentido horário, o que foi indicado com uma seta direcional no Gráfico 1.


Gráfico 1
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Outro ponto interessante sobre este gráfico é que ele poderia ter sido gerado de várias maneiras diferentes com um pequeno ajuste em nossas equações originais (vamos chamá-las de V1). Para demonstrar, podemos comparar V1 com equações semelhantes fornecidas na Tabela 3.


Tabela 3
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Se você fosse representar graficamente as equações V2, obteria o mesmo gráfico que V1; no entanto, isso exigiria o dobro do intervalo. Se você pensar no parâmetro como tempo, V2 traça o caminho elíptico pela metade da taxa de V1. Você pode confirmar que todos os três gráficos (V1, V2 e V3) têm a mesma aparência usando GraphSketch, um ótimo utilitário online para equações paramétricas.

O poder da parametria

Acabamos de ver duas vantagens de usar equações paramétricas, mas há mais uma a ser considerada. Em certos casos, as equações paramétricas são mais simples e menos confusas do que qualquer outro formato.

Pegue as equações paramétricas que acabamos de representar graficamente, por exemplo. Podemos converter para a equação retangular equivalente e comparar.


Etapa 1 de conversão: usando uma equação paramétrica, resolva para t
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A primeira equação em caixa é o equivalente retangular de nossas equações paramétricas. Você reconhece isso como uma elipse ou parece grego total?


Etapa de conversão 2: Substitua t na outra equação paramétrica
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Se você for um assistente de trigonometria, você entende como pode simplificar a equação retangular para produzir a segunda equação em caixa. Caso contrário, use equações paramétricas e evite o incômodo extra.


Conversão alternativa (trigonometria)
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Para ver o poder dos paramétricos em ação, visite o site GraphSketch e digite o seguinte:

x (t) = cos (10t)

y (t) = sin (8t)

Você pode imaginar a equação retangular equivalente para este gráfico intrincado?

Resumo da lição

Nesta lição, aprendemos que paramétrica é o uso de uma terceira variável (um parâmetro chamado t) para criar duas equações independentes. As equações paramétricas são úteis quando duas variáveis ​​(x, y) estão indiretamente relacionadas por uma terceira variável, como o tempo. O gráfico de equações paramétricas revelará mais do que apenas a forma de uma curva, mas também como o caminho foi percorrido (ou seja, direção e taxa). Você agora tem uma visão geral completa dos fundamentos da parametria; boa sorte no final do questionário da lição!