Cinco etapas para resolver problemas de otimização
Lembre-se de que os problemas de otimização estão em toda parte, mas temos uma maneira de resolver os problemas de otimização em cinco etapas. Devemos visualizar o problema, definir o problema, escrever uma equação para o problema, encontrar o mínimo ou máximo para o problema e então responder a pergunta. Com essas etapas, podemos resolver a maioria dos problemas de otimização.
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Vamos experimentar um. Qual é a quantidade máxima de terreno que você pode delimitar em um curral retangular com perímetro de 100m?
Etapa 1: Visualize
A primeira coisa que precisamos fazer é visualizá-lo. Vamos desenhar isso; Eu tenho uma caneta retangular. Digamos que ele segure minha tartaruga (ela precisa de muito espaço). Aqui está minha caneta retangular: ela tem uma altura de h , uma largura de we um perímetro de 100 m. Eu não sei o que h e w são uma vez que não foram dadas a mim. Em vez disso, escolho aqueles para resolver esse problema.
Etapa 2: Definir o problema
A seguir está a segunda etapa, defina o problema. Preciso maximizar a área da caneta. Estou restringido pelo meu perímetro, que deve ser igual a 100m. Não tenho nenhuma outra restrição, então preciso maximizar esta área que é realmente o produto da largura e altura da caneta.
Etapa 3: Escreva uma Equação
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Vamos escrever isso como uma equação – etapa três. A área é a altura vezes a largura, mas não sei qual é a altura nem a largura. Eu sei que o perímetro deste retângulo é 2 (altura) + 2 (largura) e o perímetro tem que ser 100m. Quando ligamos isso, obtemos 100 = 2 h + 2 w . Novamente, área = hw . Estou quase lá, mas realmente quero uma equação. Não sei como otimizar duas equações. Além disso, tenho três incógnitas aqui. Eu estou tentando maximizar a área, mas eu tenho h e w que pode mudar.
Vamos nos livrar de um desses. Vamos resolver a equação do perímetro para largura. Então, eu tenho 100 = 2 h + 2 w , que posso escrever como 50 = h + w (acabei de dividir tudo por 2). Posso resolver isso subtraindo h de ambos os lados e acabo com w = 50 – h . Agora posso inserir minha largura em minha equação de área, de modo que minha área dependa apenas da altura. Agora, eu tenho uma equação, A = h (50 – h ), onde h é minha altura e A é minha área.
Etapa 4: Encontre o mínimo ou máximo
Encontrar o mínimo ou o máximo é a etapa quatro do nosso processo de otimização. Então, vamos escrever a área, A = h (50 – h ), ou A = 50 h – h ˆ2. Vou encontrar a derivada da área em relação a h . Quando diferencio os dois lados, obtenho dA / dh = a derivada do lado direito em relação a h , que é 50 – 2 h . Ok, então posso encontrar o ponto crítico desta função definindo essa derivada igual a zero ( dA / dh = 0). Quando é 0, h = 25.
Então, se eu pensar em minha função, A é alguma função de h , em h = 25, minha função está em um ponto crítico. É um máximo ou um mínimo? Esta é uma boa pergunta. Vamos desenhar uma reta numérica . Vou colocar h abaixo da linha numérica. 25 está no meio porque é nosso ponto crítico e 0 está abaixo de h . Este é realmente o fim do nosso alcance – não podemos ter uma caneta com altura negativa. Então, 50 é o topo de nossa gama. Nosso cercado não pode ter mais que 50 m de comprimento porque não temos cerca suficiente para fechar o cercado.
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Então, qual é a área quando h = 0? Bem, 0 * (50 – 0) = 0. Ok, essa área é 0. Em h = 25, tenho 25 (50 – 25) = 625. Isso é muito maior do que 0, então pode ser um máximo. Quando h = 50, então meu A = 0, porque 50 (50 – 50) = 0. Então, h = 25 é nosso ponto crítico, e nesse ponto crítico temos uma área máxima, 625mˆ2.
Etapa 5: responda à pergunta
A última etapa do nosso problema de otimização é responder à pergunta. Novamente, qual é a quantidade máxima de terreno que você pode delimitar em um curral retangular com perímetro de 100m? Se eu tiver um curral cujo perímetro seja 100m, então maximizarei a área tendo um curral com 25m de altura, 25m de largura e essa área (que responde à questão) é 625mˆ2.
Resumo da lição
Em geral, para problemas de otimização, se você seguir o método de cinco etapas, poderá resolver a maioria dos problemas de otimização. A parte mais difícil geralmente é escrever uma equação, mas às vezes é definir o problema. Mais uma vez, aqui estão as etapas:
- Visualize
- Defina isso
- Escreva uma equação
- Encontre o mínimo ou máximo
- Responda à pergunta