Número de Euler
O número e às vezes é chamado de ‘número de Euler’ porque Leonhard Euler, o matemático suíço, usou essa letra em particular para representar essa constante matemática. Acho que é fácil lembrar o nome desse número. A letra ‘e’ também é a primeira letra do sobrenome de Leonhard Euler!
Como uma constante matemática, o número e permanece o mesmo valor, não importa a matemática que você faça com ele. Sempre será aproximadamente 2.71828. Digo aproximadamente porque o número e , como o número pi , é um número irracional.
Irracional
Sendo um número irracional , o número e é um número real que dura para sempre e não pode ser escrito como a fração de dois números. Assim como você não pode escrever uma fração simples para representar pi , você não pode escrever uma fração para representar e . Você deve usar os símbolos para representar esses números com precisão.
Mas podemos aproximar números irracionais. Assim como aproximamos o número pi de 3,14, aproximamos e de 2,71828. No entanto, temos em mente que o número dura para sempre e, ao usar essas aproximações, nossas respostas também serão aproximações e não serão 100% precisas.
Calculando
Existem duas maneiras de calcular e , mas ambas envolvem infinito.
A primeira é quando calculamos (1 + 1 / n ) ^ n quando n é infinito. Claro, não podemos calcular o infinito; fazemos cálculos que vão ficando cada vez mais altos. Podemos chegar ao infinito? Não, não podemos, mas podemos chegar cada vez mais perto disso se continuarmos fazendo cálculos cada vez mais altos. À medida que fazemos isso, vemos que nos aproximamos cada vez mais do número e . Por exemplo, (1 + 1 / 100.000) ^ 100.000 = 2,71827, que é correto para quatro casas decimais. Se continuarmos fazendo cálculos mais altos, nossa resposta ficará cada vez mais perto do valor de e .
A segunda maneira de calcular e é continuar adicionando a esta série 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5 !. . . O ponto de exclamação é o símbolo do fatorial, o que significa que pegamos o número e o multiplicamos por todos os números necessários para contar esse número começando com 1. Portanto, 5! significa que multiplicamos 1, 2, 3, 4 e 5 juntos. 4! significa que multiplicamos 1, 2, 3 e 4 juntos. Quanto mais adicionamos, mais perto chegamos do valor de e . Experimente você mesmo.
Usos
O número e tem um uso muito importante em matemática como base do logaritmo natural. Você deve ter visto equações como y = ln ( x ). O que isso significa é que, se levarmos o número e elevado à potência y , obteremos x como nossa resposta. Então, ln (5) será igual a 1,609, porque se levarmos e à potência de 1,609 teremos 5 como nossa resposta. Nas calculadoras, você verá um botão para ln, que é esta função de logaritmo natural.
Outro uso famoso do número e é usado pelos banqueiros quando fazem cálculos compostos contínuos. O que é isso? Bem, quando você tem uma conta poupança, seus juros, o dinheiro que você ganha, geralmente são calculados uma vez por mês ou uma vez por ano. Isso é chamado de composição periódica. Quando você aumenta a frequência desses cálculos até o ponto em que ela é calculada continuamente e você recebe de forma contínua, isso é chamado de composição contínua.
A fórmula para quanto você obteria após um período de tempo de composição contínua é FV = PV * e ^ (Rt) onde FV é o valor final, PV é o valor que você tem atualmente no banco, R é a taxa de porcentagem anual e t é o seu período de tempo. Por exemplo, se você tivesse $ 10.000 no banco e quisesse ver quanto dinheiro teria após cinco anos de capitalização contínua com uma taxa de porcentagem anual de 2%, você usaria a fórmula e inseriria seus números para obter FV = 10.000 * e ^ (0,02 * 5). Avaliando isso, você obtém 10.000 * e ^ (0,02 * 5), que é igual a 10.000 * e^ (0,1), que é igual a 10.000 * 1,1 = 11.051,71. Portanto, após cinco anos, você teria $ 11.051,71 no banco. Nada mal para deixar seu dinheiro parado por cinco anos.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos sobre o número e . Aprendemos que o número e às vezes é chamado de número de Euler e tem aproximadamente 2,71828. Como o número pi , é um número irracional e dura para sempre. As duas maneiras de calcular esse número são calculando (1 + 1 / n ) ^ n quando n é infinito e adicionando à série 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! . . . Usamos o número e ao fazer cálculos envolvendo o logaritmo natural e também ao calcular a composição contínua.
Resultados de Aprendizagem
Depois de assistir a esta lição, você será capaz de:
- Lembre-se da fonte do número e e seu valor aproximado
- Calcule o valor de e usando infinito e fatoriais
- Aplique e em equações matemáticas através do logaritmo natural e em cálculos compostos.